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Diskrete vs. kontinuierliche Replikatordynamik

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Die Replikatorgleichung bei diskreten, nicht überlappenden Generationen und asexueller Fortpflanzung ist gegeben durch diskret Replikatorgleichung: $$x_i(t+1) = x_i (t)frac{f_i(t)}{ar f (t)}$$ wobei $x_i$ die Häufigkeit der Strategie $i$ und jedes Individuums ist Spielstrategie $i$ produziert $f_i$ Kopien von sich selbst in der nächsten Generation. $ar f$ ist die durchschnittliche Fitness. Also egin{equation} Updelta x_i = x_i(t) frac{(f_i(t) - ar f (t))}{ar f (t)} end{equation} Im Fall $ x_i$ ist eine stetige Variable, wir haben die kontinuierlich Replikatorgleichung gegeben durch $$dot x_i = x_i (f_i - ar f)$$

Frage: Ich nehme an, wir sollten in der Lage sein, die kontinuierliche Replikator-Gleichung aus der diskreten Replikator-Gleichung abzuleiten, indem wir die diskrete Replikator-Gleichung für $lim_{Delta t o 0}$ auswerten. Wie kann ich diese Ableitung vornehmen?


Um diese Ableitung zu machen, ist es besser, sich auf die Einwohnerzahl einer Strategie im Gegensatz zu den Frequenz einer Strategie. Lassen $N_i$ die Bevölkerungsgröße der Strategie sein $i$. Strategien in der Replikatordynamik ändern sich exponentiell. Die Gleichung für kontinuierliches exponentielles Wachstum lautet $dot N_i = f_i N_i$. Schon seit $x_i=N_i/N$ und $dot N = ar f N$, berechnend $dot x_i$ durch Verwendung der Quotientenregel erhalten wir die stetige Replikatorgleichung.


Mathe-Einblick

Ein grundlegender Typ eines dynamischen Systems ist ein diskretes dynamisches System, bei dem sich die Zustandsvariablen in diskreten Zeitschritten entwickeln. Wir haben diskrete dynamische Systeme verwendet, um das Populationswachstum zu modellieren, vom einfachen exponentiellen Wachstum von Bakterien bis hin zu komplizierteren Modellen wie logistischem Wachstum und Erntepopulationen.

Manchmal ist diskrete Zeit keine gute Beschreibung

Für einige Anwendungen ist die Entwicklung in diskreter Zeit jedoch möglicherweise nicht die beste Beschreibung des Phänomens. Zum Beispiel haben wir das Bakterienwachstum mit einem Zeitschritt von 16 Minuten modelliert. Das 16-Minuten-Intervall wurde basierend auf dem Intervall zwischen den experimentellen Messungen gewählt, es spiegelte keine Zeitskala der Dynamik der Bakterienpopulation wider. Die Bakterien haben sich nicht koordiniert und teilen sich alle 16 Minuten in zwei Hälften. Stattdessen teilten sich Bakterien bei einer großen Bakterienpopulation zeitlich im Wesentlichen kontinuierlich, wobei sich verschiedene Bakterien zu unterschiedlichen Zeiten teilten. Die Populationsgröße nahm mit der Zeit kontinuierlich zu, anstatt alle 16 Minuten zu sprangen. Vielleicht könnten wir unser Modell verbessern, indem wir den dynamischen Variablen erlauben, sich mit der Zeit kontinuierlich zu entwickeln.

Wir haben das Bakterienwachstum mit einem logistischen Modell der Form egin . modelliert x_-x_n = r,x_n (1-x_n). Etikett Ende Der Einfachheit halber haben wir die Tragfähigkeit auf eins gesetzt. In dieser Schreibweise ist $x_n$ die Bakterienpopulation im Zeitschritt $n$, also dem $n$ten 16-Minuten-Zeitintervall. Wenn wir dieses Modell in Form einer Funktionsiteration schreiben, ist es $x_=f(x_n)$ wobei $f(x)=x+rx(1-x)$. Obwohl dies nicht einmal annähernd den Parametern entspricht, die wir für die Bakteriendaten gefunden haben, setzen wir $r=2.4$. Sie können sich die Entwicklung des Modells ansehen, indem Sie $x+2,4x(1-x)$ in das Funktionsiterations-Applet eingeben. Setzen Sie die Anfangsbedingung auf $x_0=0.01$. Sie sollten sehen, dass die Grundgesamtheit, wenn $n$ groß genug ist, zwischen Werten von etwa 0,64 und 1,19 schwankt.

Funktionsiteration. Die Wirkung der wiederholten Anwendung der Funktion $f(x)$ auf den Startwert $x_0$ wird sowohl durch die Liste rechts als auch durch den Graphen links gezeigt. In der Liste wird zunächst nur der Anfangswert $x_0$ und im Diagramm nur der Punkt $(0,x_0)$ angezeigt. (In der Listenüberschrift wird $x_n$ als x_n geschrieben.) Jedes Mal, wenn Sie auf die Schaltfläche &ldquoiterate&rdquo klicken, wird die Funktion durch Anwenden von $f$ auf den vorherigen Wert mit der Rekursion $x_n = f(x_)$. Dann erscheint die neue Iteration $x_n$ in der Liste und der neue Punkt $(n,x_n)$ erscheint im Diagramm. Beachten Sie, dass die Iterationsnummer $n$ auf der horizontalen Achse aufgetragen ist (was Sie normalerweise als $x$-Achse bezeichnen), und die Werte von $x_$ werden auf der vertikalen Achse aufgetragen (was Sie sich normalerweise als $y$-Achse vorstellen können). Die Werte jedes $x_$ sind zusätzlich mit horizontalen Linien und dem letzten Wert $x_ gekennzeichnet$ ist beschriftet. Sie können die Funktion $f(x)$ ändern, indem Sie eine neue Funktion in das Feld eingeben. Sie können den Anfangspunkt $x_0$ ändern, indem Sie einen neuen Wert in das Feld eingeben oder den blauen Punkt ziehen. Sie können die vertikale Achse mit den Schaltflächen + und - zoomen und mit den mit Pfeilen gekennzeichneten Schaltflächen nach oben und unten schwenken.

Übergang zur kontinuierlichen Zeit

Als ersten Schritt zur Abkehr von der 16-Minuten-Intervallbeschränkung ändern wir die Notation unseres Modells. Zuerst sei $t$ die Zeit in Minuten, so dass $t= 16n$ ist. Anstatt die Variablen dann als $x_n$ für die Populationsgröße zum Zeitpunkt $n$ zu bezeichnen, bezeichnen wir sie als $x(t)$ für die Populationsgröße zum Zeitpunkt $t$. Wir können Gleichung eqref . umschreiben als egin x(t+16)-x(t) = 2,4 ,x(t) (1-x(t)) end da das Erhöhen von $n$ um einen Zeitschritt dasselbe ist wie das Erhöhen von $t$ um 16 Minuten.

Diese Änderung der Notation hilft uns zu sehen, was wir tun könnten, wenn wir ein anderes Modell für das Bevölkerungswachstum in beispielsweise 8-Minuten-Intervallen anstelle von 16-Minuten-Intervallen entwickeln wollten. Obwohl wir nicht erwarten, dass das Modell genau dasselbe ist, könnten wir sagen, dass, wenn die Änderung in 16 Minuten $2.4 ,x(t) (1-x(t))$ beträgt, die Änderung in 8 Minuten die Hälfte dieser Menge oder etwa 1,2 $ x(t) (1-x(t))$. Es wäre nicht völlig verrückt, sich ein Modell für Acht-Minuten-Intervalle der Form egin . vorzustellen x(t+8) – x(t) = 1,2x(t) (1 –x(t)). Ende Wenn wir schon dabei sind, könnten wir ein Modell für 4-Minuten-Intervalle postulieren, indem wir die Änderung wieder halbieren: egin x(t+4) – x(t) = 0,6 x(t) (1 – x(t)). Ende Wenn wir diesen Weg fortsetzen, könnten wir eine ganze Reihe von Modellen erhalten, indem wir das Zeitintervall und die Änderung weiter halbieren: egin x(t+2)-x(t) &= 0,3 x(t) (1-x(t)) x(t+1)-x(t) &= 0,15 x(t) (1-x (t)) x(t+0,5)-x(t) &= 0,075 x(t) (1-x(t)) end Zum jetzigen Zeitpunkt haben wir keinen Grund zu der Annahme, dass diese Modelle ein ähnliches Verhalten haben könnten. Anstatt eine komplizierte mathematische Analyse durchzuführen, um herauszufinden, was uns erwartet, experimentieren wir einfach, um zu sehen, was passiert.

Um dieses Experimentieren leicht zu machen, sollten wir diese Modelle zuerst in die gleiche Form mit einem Parameter $Delta t$ für das Zeitintervall umschreiben. Dann beträgt die Änderung der Populationsgröße in einem Zeitschritt $x(t+Delta t)-x(t)$, wobei $Delta t$ 16, 8, 4, 2, 1 oder 0,5 Minuten beträgt. Da die Änderung für $Delta t=1$ 0,15 x(t) (1-x(t))$ beträgt und eine Verdoppelung von $Delta t$ die Änderung nur verdoppelt, können wir alle obigen Gleichungen als egin . schreiben x(t+Updelta t)-x(t) &= Updelta t, 0.15 x(t) (1-x(t)) end oder dividiert durch $Delta t$ als egin frac &= 0.15 x(t) (1-x(t)) label ag <3>end

Mit dem folgenden Applet können Sie das Verhalten dieser verschiedenen Modelle untersuchen. Der erste Schritt besteht darin, das Ergebnis zu reproduzieren, das Sie mit dem obigen Funktionsiterations-Applet und $Delta t = 16$ erhalten haben. Setzen Sie die Anfangsbedingung auf $x(0)=0.01$ und geben Sie 0,15 x(1-x)$ für die Funktion ein. Wenn $Delta t = 16$ ist, sollten Sie mit $x_ genau die gleichen Zahlen wie oben erhalten.-x_ = 2,4x_n(1-x_n)$. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die Zeit in Minuten und nicht in 16-Minuten-Zeitschritten angegeben wird. Sie müssen mehrmals auf die Schaltfläche -h klicken, um die horizontale Achse größer zu verkleinern.

Von der Funktionsiteration zur kontinuierlichen Evolution. Die Entwicklung der Differenzengleichung $x(t+Updelta t) - x(t) = Updelta t,g(x(t))$ in diskreten Zeitschritten der Länge $Updelta t$ wird durch eine Auftragung von $x(t)$ gegenüber $t$ sowie in einer Liste rechts. Das Format ist nahezu identisch mit dem Funktionsiterations-Applet mit $f(x) = x+Delta t, g(x)$. Durch Klicken auf die Schaltfläche &ldquoiterate&rdquo wird ein Wert von $x(t+Delta t)$ für den nächsten Zeitschritt $t+Delta t$ berechnet. Die Schaltfläche &ldquorefine&rdquo halbiert den Zeitschritt $Delta t$ und verdoppelt die Anzahl der Zeitpunkte, so dass mit kleineren Zeitschritten der gleiche Endwert $x(t)$ berechnet wird. Sie können $Delta t$ auch unabhängig voneinander anpassen, indem Sie einen Wert in das entsprechende Feld eingeben. Die Funktion $g(x(t))$ wird durch Eingabe eines Wertes in das Feld spezifiziert, damit das Applet jedoch funktioniert, muss man die Variablen als $x$ statt als $x(t)$ eingeben. Wenn das Kontrollkästchen &ldquodetails&rdquo deaktiviert ist, verschwinden die Punkte und Linien, die die Werte von $x(t)$ an den diskreten Punkten angeben, und zeigen nur einen Plot der Funktion $x(t)$. Wenn $Delta t$ klein ist, nähert sich $x(t)$ der Lösung der Differentialgleichung $diff = g(x)$. Sie können die horizontale Achse mit den Schaltflächen +h und -h und die vertikale Achse mit den Schaltflächen +v und -v zoomen. Mit den mit Pfeilen gekennzeichneten Schaltflächen können Sie nach oben und unten schwenken.

Nachdem Sie diese Plausibilitätsprüfung durchgeführt haben, ist es an der Zeit zu sehen, was passiert, wenn Sie den Zeitschritt $Delta t$ verringern. Sie könnten einen neuen Wert von $Delta t$ eingeben, sagen wir $Delta t=8$, und dann mehrmals auf die Schaltfläche Iterieren klicken, um zu den gleichen Zeitwerten zurückzukehren. Oder klicken Sie einfach einmal auf die Schaltfläche &ldquorefine&rdquo, um dies automatisch für Sie zu tun. Ein Klick auf diese Schaltfläche halbiert den Zeitschritt $Delta t$ und verdoppelt die Anzahl der Zeitpunkte, so dass die Lösung immer noch auf den gleichen Endzeitpunkt $t$ berechnet wird. Was beobachtest du? Ist die Lösung $x(t)$, die in den Intervallen $Updelta t=8$ berechnet wird, ungefähr gleich der Lösung, die in den Intervallen $Updelta t=16$ berechnet wird? Wenn es anders aussieht, beschreiben Sie diesen Unterschied.

Setzen Sie diesen Vorgang fort, indem Sie den Zeitschritt $Delta t$ auf immer kleinere Werte verfeinern. Da durch diesen Vorgang die Anzahl der Zeitschritte ziemlich groß wird, sollten Sie das Kontrollkästchen &ldquodetails&rdquo deaktivieren, damit Sie die Lösung $x(t)$ sehen können, ohne dass andere Punkte und Linien sie überladen. Beschreiben Sie, welche Veränderungen Sie beobachten, wenn Sie $Delta t$ von 16 auf 0,5 verringern. Die Schaltfläche &ldquorefine&rdquo wird ausgeblendet, wenn durch Anklicken mehr als 1000 Punkte erzeugt würden. Sie verschwindet also, bevor Sie $Delta = 0.5$ erreichen, wenn Sie $t=500$ überschritten haben. Ändern Sie in diesem Fall entweder $Delta t$ von Hand in kleinere Werte oder klicken Sie auf &ldquoreset&rdquo, um von vorne zu beginnen. (Wenn Sie es zurücksetzen, möchten Sie wahrscheinlich $Delta t$ auf einen größeren Wert wie 16 erhöhen, damit Sie nicht zigmal auf &ldquoiterate&rdquo klicken müssen.)

Das Limit

Wenn alles richtig gelaufen ist, hätten Sie feststellen müssen, dass, sobald $Delta t$ klein genug ist, das Verkleinern der Lösung $x(t)$ nicht viel geändert hat. Diese Experimente sollten es plausibel erscheinen lassen, dass man $Delta t$ immer näher an Null bringen könnte und die Lösung $x(t)$ einem Grenzwert immer näher kommen würde. Welche Gleichung erhalten wir, wenn wir den Grenzwert als $Delta o 0$ nehmen?

Die Form der linken Seite der Gleichung eqref sollte mir vage bekannt vorkommen. Wenn wir den Grenzwert dieser linken Seite nehmen, wenn wir $Delta t o 0$ lassen, was erhalten wir dann? Wir erhalten die Ableitung: egin lim_ frac = diff. Ende In dieser Grenze gilt die Differenzengleichung eqref wird der Differentialgleichung Start diff = 0,15 x(t) (1-x(t)). Etikett ag <4>end Diese Differentialgleichung ist a kontinuierliches dynamisches System. Wie das diskrete dynamische Gleichungssystem eqref, es beschreibt die Entwicklung der Bevölkerungsgröße. Die Differentialgleichung beschreibt jedoch eine kontinuierliche zeitliche Entwicklung zu jedem Zeitpunkt, die Populationsgröße $x(t)$ ändert sich ein wenig entsprechend dem Wert von $diff$.

Nun, leider, genauso wie wir keine schöne Formel für die Lösung der Differenzengleichung $x_-x_n = 2.4x_n(1-x_n)$, wir können auch keine schöne Formel für die Lösung der Differentialgleichung eqref . finden. Für die Differenzengleichung können wir die Lösung trotzdem leicht berechnen, indem wir sie einfach in Form einer Funktionsiteration schreiben und ein Computerwerkzeug (wie das Funktionsiterations-Applet) verwenden, um alle Werte von $x_n$ auszuspucken. Können wir etwas Ähnliches tun, um die Lösung der Differentialgleichung eqref . zu berechnen?

Tatsächlich können wir die Lösung einer Differentialgleichung unter anderem so untersuchen, wie Sie es oben getan haben. Wir wählen einen kleinen Zeitschritt $Delta t$, approximieren die Ableitung durch egin diff ungefähr frac end die Differenzialgleichung in eine Differenzengleichung umzuwandeln. Als Sie oben $Delta t$ klein gemacht haben, haben Sie, ohne es zu wissen, eine bekannte Methode (die sogenannte Vorwärts-Euler-Methode) verwendet, um die Lösung der Differentialgleichung anzunähern.

Das obige Applet ist jedoch etwas umständlich, da Sie mehrmals auf die Schaltfläche "Iterieren" klicken müssen. Das untenstehende Applet automatisiert diesen Vorgang ein wenig mehr. In diesem Applet geben Sie einfach den Zeitschritt $Delta t$, den Anfangszeitpunkt $t_0$ und den Endzeitpunkt $t_f$ ein. Dann berechnet das Applet automatisch die Iterationen aus der Differenzengleichung egin frac = f(x(t)) end die Lösung an egin . annähern diff = f(x(t)). Ende Geben Sie die Differentialgleichung eqref . ein im Applet unten und vergewissern Sie sich, dass Sie für die gleichen Zeitschritte $Delta t$ dieselben Ergebnisse erhalten wie im obigen Applet. Im folgenden Applet können Sie das kleinere $Delta t . überprüfen

Modell des exponentiellen Bevölkerungswachstums:


Exponentielles Populationswachstum tritt auf, wenn eine einzelne Art nicht durch andere Arten eingeschränkt wird (keine Prädation, Parasitismus, Konkurrenz), die Ressourcen nicht begrenzt sind und die Umweltbedingungen konstant sind. Unter solchen Bedingungen wächst die Bevölkerung exponentiell mit konstantem Prozentsatz pro Zeit. Ein solcher Zustand, der ein exponentielles Wachstum einer Bevölkerung ermöglicht, wird als ökologisches Vakuum bezeichnet. Ökologisches Vakuum kommt in der Natur oft nicht lange vor. In der Natur tritt ein exponentielles Bevölkerungswachstum häufig während einer Erholung einer Bevölkerung nach einer großflächigen Störung (Feuer, Epidemie usw.) auf.

In einem exponentiellen Bevölkerungswachstumsmodell kann die Veränderung der Bevölkerungsgröße durch die folgenden Faktoren bestimmt werden.

Veränderung der Populationsgröße während eines festen Zeitintervalls = Geburt während des Zeitintervalls – Todesfälle während des Zeitintervalls.

Geburtenrate:

Die Geburtenrate oder Geburtenrate ist ein Maß dafür, inwieweit sich eine Bevölkerung durch Geburten regeneriert.

Todesrate:

Die Sterberate ist die Rate, mit der eine Population Individuen verliert.

Modelle für exponentielles Bevölkerungswachstum können unterteilt werden in:


Nehmen wir an, wir werfen eine Münze. Was sind die möglichen Ergebnisse?

  • 1 Flip: 2 Ergebnisse (H oder T)
  • 2 Flips: 4 Ergebnisse (HH, HT, TH, TT)
  • 3 Flips: 8 Ergebnisse (HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT)

Sie sehen, wohin das führt. Ich würde die Anzahl der Möglichkeiten als $2^n$ beschreiben, wobei n war die Anzahl der Flips.

Ich verwende "n" (nicht x) gemäß Konvention: x könnte jeden Wert auf der x-Achse bedeuten (-3, 1.234, $sqrt<14>$), während n eine ganze Zahl darstellt (1, 2, 3 , 4).

Könnten wir sagen, die Anzahl der Ergebnisse war $e^$, wobei x die Anzahl der Münzwürfe war? Jawohl. Aber es ist verwirrend: in einem von Menschenhand geschaffenen System, in dem wir Veränderungen haben Veranstaltungen, würde ich die diskrete Version verwenden, um die Möglichkeiten zu beschreiben.


Diskussion

Die Replikatorgleichung und andere deterministische Spieldynamiken sind in den letzten 40 Jahren zu wesentlichen Werkzeugen bei der Anwendung der evolutionären Spieltheorie auf Verhaltensmodelle in den Bio- und Sozialwissenschaften geworden. Die Theorie, die wir für diese Dynamik zusammengefasst haben, geht von großen homogenen Populationen mit zufälligen Wechselwirkungen aus. Stochastische Effekte (z. B. basierend auf endlichen Populationen) und die Auswirkungen nicht zufälliger Interaktionen (z. B. Spiele auf Graphen), die in spieldynamischen Modellen zunehmend an Bedeutung gewonnen haben (10, 11), würden den Rahmen dieses Beitrags sprengen.

Die in diesem Beitrag aufgeführten Beispiele zeigen, dass statische spieltheoretische Lösungskonzepte (z. B. NE und ESS) eine zentrale Rolle bei der Vorhersage des evolutionären Ergebnisses von Spieldynamiken spielen. Umgekehrt führen Spieldynamiken, die bei der Analyse der Verhaltensentwicklung natürlich auftreten, zu einem tieferen Verständnis der mit den statischen Konzepten verbundenen Probleme. Das heißt, sowohl der klassische als auch der evolutionäre Ansatz der Spieltheorie profitieren von diesem Zusammenspiel.

So veranschaulicht das Beuteerkennungsspiel erneut das Potenzial spieltheoretischer Methoden, um Fragestellungen der Verhaltensökologie besser zu verstehen. Hier wird vorgeschlagen, wie das Raubtier sein optimales Nahrungssucheverhalten durch Wilddynamik „lernt“, eine Frage, die in der Theorie der optimalen Nahrungssuche nicht oft berücksichtigt wird. Andererseits wirft die Analyse dieses Spiels auch wichtige Fragen in spieltheoretischen Anwendungen auf das menschliche Verhalten auf. Konkret betrachtet dieses Beispiel die Auswirkung der Zeit, die für verschiedene Interaktionen aufgewendet wird, auf rationales Verhalten, ein Aspekt, der immer wichtiger wird, wenn Individuen eine Reihe von Interaktionen haben, wie sie durch eine extensive Form modelliert werden.


SIAM Journal für Angewandte Dynamische Systeme

Ein Samenorganismus vermehrt sich nur einmal in seinem Leben und stirbt danach. Wenn es nur eine Möglichkeit zur Fortpflanzung pro Jahr gibt und sich alle in einem bestimmten Jahr geborenen Individuen fortpflanzen k Jahre später kann die Bevölkerung nach dem Geburtsjahr modulo . in Jahrgangsklassen eingeteilt werden k. Die Dynamik wird durch ein zeitdiskretes nichtlineares Leslie-Matrixmodell beschrieben, bei dem die Nichtlinearität durch die dichteabhängigen Fertilitäts- und Sterberaten eintritt. Wenn das Reproduktionsverhältnis nahe eins ist, kann die Full-Life-Cycle-Karte durch die Lösung einer Differentialgleichung vom Lotka-Volterra-Typ angenähert werden, die die zyklische Symmetrie erbt, die in der Full-Life-Cycle-Karte vorhanden ist . Die Lotka-Volterra-Gleichung kann als nächstes auf die Replikatorgleichung auf dem $(k-1)$-dimensionalen Simplex reduziert werden. In diesem Papier klassifizieren wir das Repertoire des dynamischen Verhaltens für $k=2,3$ und leiten ein fast vollständiges Bild für $k=4$ ab, wobei einige offene Probleme identifiziert werden. Besonderes Augenmerk legen wir auf den Zustand der Einjahresklasse (SYC) (alle bis auf eine Jahrklasse fehlen), Mehrjahresklassenmuster (mit mehreren, aber nicht allen Jahresklassen), heteroklinen Zyklen und periodischen Umlaufbahnen.


Ziele:

1) Um die Rate des Bevölkerungswachstums in einem eingeschränkten Umfeld zu untersuchen.

2) Untersuchung verschiedener Aspekte logistischer Bevölkerungswachstumsmodelle, wie Wachstumsrate und Tragfähigkeit.

3) Um diskrete und kontinuierliche Wachstumsmodelle unter Verwendung mathematisch definierter Gleichungen zu verstehen.

Tragfähigkeit: Die größte Bevölkerung, die angesichts der in der Umwelt verfügbaren Ressourcen auf unbestimmte Zeit unterstützt werden kann.

Hier versuchen wir, die Populationsdynamik zu untersuchen, wenn sie Einschränkungen wie begrenztem Nahrungsangebot usw. ausgesetzt sind. Wir untersuchen diese Dynamik auch unter Berücksichtigung der Existenz intraspezifischer Konkurrenz (Konkurrenz zwischen den Individuen derselben Art). Ein solches Bevölkerungswachstum wird als logistisches Wachstum bezeichnet. Logistisches Wachstum geht davon aus, dass Systeme exponentiell wachsen, bis sich eine dem System inhärente Obergrenze oder "Tragkapazität" nähert, an welchem ​​Punkt die Wachstumsrate verlangsamt und schließlich gesättigt wird, wodurch die charakteristische S-förmige Kurve erzeugt wird (Stone, 1980). Logistikmodelle sind dichteabhängig, wobei die Wachstumsrate gleich der Geburtenrate minus der Sterberate ist.

Wenn eine Population mit reichlich Nahrung, Platz zum Wachsen und keiner Bedrohung durch Raubtiere versorgt wird, neigt sie dazu, proportional zur Population zu wachsen – das heißt, in jeder Zeiteinheit produziert ein bestimmter Prozentsatz der Individuen neue Einzelpersonen.

Die meisten Populationen sind durch Ressourcenbeschränkungen eingeschränkt, können aber nicht für immer eingeschränkt werden. Die Abbildung unten (Abb. 1) zeigt zwei mögliche Verläufe für das Wachstum einer Population, die magentafarbene Kurve folgt einem exponentiellen (nicht beschränkten) Muster, die orangefarbene Kurve ist beschränkt, sodass die Population immer kleiner als eine Zahl K ist. Wenn die Population klein ist relativ zu K sind die beiden Muster praktisch identisch – das heißt, die Einschränkung macht keinen großen Unterschied. Aber für die zweite Population, wenn P ein signifikanter Bruchteil von K wird, beginnen die Kurven zu divergieren, und wenn P sich K nähert, sinkt die Wachstumsrate auf 0. Die logistische Gleichung ist ein einfaches Modell des Bevölkerungswachstums unter Bedingungen, bei denen es gibt begrenzte ressourcen. Wenn die Bevölkerung niedrig ist, wächst sie ungefähr exponentiell. Wenn dann die Auswirkungen begrenzter Ressourcen wichtig werden, verlangsamt sich das Wachstum und nähert sich einem Grenzwert, der Gleichgewichtsbevölkerung oder Tragfähigkeit.

Die logistische Gleichung ist parabolisch wie die quadratische Abbildung mit f(0)=f(1)=0. Das Verhalten der logistischen Gleichung ist komplexer als das des einfachen harmonischen Oszillators. Die Art der Umlaufbahn hängt von der Wachstumsrate des Parameters ab, jedoch auf eine Weise, die sich nicht für "weniger als", "größer als", "gleich zu"-Aussagen eignet. Das Verhalten der Bahnen in Abhängigkeit von der Wachstumsrate lässt sich am besten mit einem Bifurkationsdiagramm visualisieren. Das logistische Wachstumsmodell ist eine S-förmige Kurve. In der Biologie und auf anderen Gebieten zeigen viele Prozesse ein S-förmiges Wachstum. Normalerweise werden die Kurven gut durch die einfache logistische Wachstumsfunktion modelliert, die erstmals 1845 von Verhulst eingeführt wurde. Kingsland lieferte eine gründliche Geschichte der Anwendungen der einfachen logistischen Kurve in der Populationsökologie, ihrer Erfolge und Misserfolge.

Logistisches Wachstum kann entweder kontinuierlich oder diskret erklärt werden.

Diskretes Wachstum:

Die logistische Gleichung geht davon aus, dass die erwartete Zahl der Nachkommen linear mit der Populationsgröße abnimmt. Die Gleichung für das logistische Wachstum lautet wie folgt:

Hier, NT+1 bezieht sich auf die Anzahl der Individuen in der nächsten Generation,
nT bezieht sich auf die Anzahl der Individuen in der aktuellen Generation,
Rm bezieht sich auf die maximale Wachstumsrate,
K ist die Tragfähigkeit.

Wobei der Term (K-Nt)/K fast gleich K/K oder 1 ist. Das Modell verhält sich dann wie ein geometrisches Modell und die Population wird wachsen, vorausgesetzt R>1. Die Population wird zunächst langsam wachsen, weil der Parameter R ebenfalls mit einer Zahl (Nt) multipliziert wird, die fast gleich Null ist, aber sie wird immer schneller wachsen, zumindest für eine Weile. Irgendwann wird sich das Bevölkerungswachstum jedoch verlangsamen, weil der Term (K-Nt)/K immer kleiner wird, wenn Nt größer und näher an K wird. Die diskrete Gleichung zeigt, dass das Verhalten einer Population gemeinsam bestimmt wird durch Rm und K, die Pro-Kopf-Wachstumsrate und die Tragfähigkeit der Bevölkerung. Das Verhalten der Population wird gemeinsam durch zwei Eigenschaften der Individuen darin bestimmt – ihre intrinsische Pro-Kopf-Zunahmerate und ihre Anfälligkeit für Verdrängung, Ra und a. Die Tragfähigkeit der Bevölkerung (K=(R-1)/a) ergibt sich dann einfach für diese Eigenschaften.

Kontinuierliches Wachstum:

Das Modell des logistischen Wachstums in kontinuierlicher Zeit folgt der Annahme, dass sich jedes Individuum mit einer linear abnehmenden Rate der Populationsgröße fortpflanzt. Die Gleichung für das zeitkontinuierliche Modell ist unten dargestellt:

Hier, rm ist die maximale Wachstumsrate,

N ist die Anzahl der Individuen,

K ist die Tragfähigkeit.

Populationsgrößen kleiner als K werden die Populationen an Größe zunehmen: bei Populationsgrößen größer als K wird die Populationsgröße abnehmen und bei K selbst nimmt die Population weder zu noch ab. Die Tragfähigkeit ist somit ein stabiles Gleichgewicht für die Population, und das Modell weist die regulatorischen Eigenschaften auf, die klassischerweise für intraspezifische Konkurrenz charakteristisch sind. Beim kontinuierlichen Zeitmodell sind Geburt und Tod stetig. Die Nettorate einer solchen Grundgesamtheit wird mit dN/dt bezeichnet. Dies stellt die 'Geschwindigkeit' dar, mit der eine Population N im Laufe der Zeit t an Größe zunimmt. Es beschreibt eine sigmoidale Wachstumskurve, die sich einer stabilen Tragfähigkeit annähert, aber es ist nur eine von vielen vernünftigen Gleichungen, die dies tun (siehe Abb. 2).


1) Wenn K unendlich wäre, wäre N[t]/K null und das Bevölkerungswachstum würde der Gleichung für exponentielles Wachstum folgen.

2) Wäre die Populationsgröße N[t] viel kleiner als die Tragfähigkeit K, dann wäre N[t]/K klein. In diesem Fall würde die Population nahezu exponentiell wachsen (bis die Populationsgröße nicht mehr viel kleiner als K wäre).


Inhalt: Diskrete Daten vs. kontinuierliche Daten

Vergleichstabelle

VergleichsbasisDiskrete DatenKontinuierliche Daten
BedeutungDiskrete Daten sind Daten mit klaren Abständen zwischen den Werten.Kontinuierliche Daten fallen auf eine kontinuierliche Sequenz.
NaturZählbarMessbar
WerteEs kann nur unterschiedliche oder separate Werte annehmen.Es kann jeden Wert in einem bestimmten Intervall annehmen.
Grafische DarstellungBalkendiagrammHistogramm
Die Tabellierung ist bekannt alsUngruppierte Häufigkeitsverteilung.Gruppierte Häufigkeitsverteilung.
EinstufungGegenseitig inklusiveSich gegenseitig ausschließen
FunktionsgraphZeigt isolierte Punkte anZeigt verbundene Punkte an
BeispielTage der WocheMarktpreis eines Produkts

Definition diskreter Daten

Der Begriff diskret impliziert verschieden oder getrennt. Diskrete Daten beziehen sich also auf die Art von quantitativen Daten, die auf Zählungen beruhen. Es enthält nur endliche Werte, deren Unterteilung nicht möglich ist. Es enthält nur die Werte, die nur in ganzen Zahlen oder ganzen Zahlen gezählt werden können und getrennt sind, was bedeutet, dass die Daten nicht in Bruch oder Dezimal zerlegt werden können.

Zum Beispiel, Anzahl der Schüler in der Schule, Anzahl der Autos auf dem Parkplatz, Anzahl der Computer in einem Computerraum, Anzahl der Tiere in einem Zoo usw.

Definition kontinuierlicher Daten

Kontinuierliche Daten werden als ununterbrochene Beobachtungen beschrieben, die auf einer Skala gemessen werden können. Es kann jeden numerischen Wert innerhalb eines endlichen oder unendlichen Bereichs möglicher Werte annehmen. Statistisch bezieht sich die Reichweite auf die Differenz zwischen der höchsten und niedrigsten Beobachtung. Die fortlaufenden Daten lassen sich in Brüche und Dezimalzahlen zerlegen, d.h. sie können entsprechend der Messgenauigkeit sinnvoll in kleinere Teile unterteilt werden.

Zum Beispiel, Alter, Größe oder Gewicht einer Person, Zeitaufwand für die Erledigung einer Aufgabe, Temperatur, Zeit, Geld usw.


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Difference Between Discrete and Continuous Variables

In statistics, a variable is an attribute that describes an entity such as a person, place or a thing and the value that variable take may vary from one entity to another. For example, if we let the variable Y be the grade of a student at an exam, Y can take the values A, B, C, S and F. If we let the variable X be the height of a student in a class, then it can take any real value within a range.

From these two examples, it can be seen that there are two types of variables as quantitative and qualitative depending on whether the domain of the variable is numeric with normal arithmetic operations possible or not. Those quantitative variables are of two types: discrete variables and continuous variables.

What is a discrete variable?

If the quantitative variable can take only an at most countable number of values, then such data is called discrete data. In other words, the domain of the variable should be at most countable. An at most countable number is either finite or countable. An example will illustrate this further.

A five question test is given to a class. Let X be the number of correct answers a student gets. The possible values of X are 0, 1, 2, 3, 4, and 5 only 6 possibilities, and it is a finite number. Therefore, X is a discrete variable.

In a game, one has to shoot a target. If we let Y be the number of times one shot until he hit the target, then the possible values of Y will be 1, 2, 3, 4 … and so on. Theoretically, these values need not have a finite limit. But these values are countable. Hence, the variable Y defined as “the number of times one shot until he hit the target” is a discrete variable.

From these two examples, it can be seen that discrete variables often defined as counts.

What is a continuous variable?

The quantitative variable that can take all the possible values within a range is called continuous data. Therefore, if the domain of a continuous variable is the interval (0, 5), then the variable can take any real number value in between 0 and 5.

For example, if we define the variable Z to be the height of a student in a class, then the variable Z can take any real number value within the range of height of humans. Thus, Z is a continuous variable, but if we add an additional restriction as “a student’s height to the nearest centimeter”, then the variable Z will be discrete since it can take only a finite number of values.

From this, it can be seen that normally a continuous variable is defined as a measurement.

What is the difference between discrete variable and continuous variable?

• The domain of a discrete variable is at most countable, while the domain of a continuous variable consists of all the real values within a specific range.

• Usually discrete variables are defined as counts, but continuous variables are defined as measurements.


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Bemerkungen:

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