Information

Reproduktionsnummer eines SIR-Modells mit Mortalität

Reproduktionsnummer eines SIR-Modells mit Mortalität


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Wir wissen, dass die Reproduktionszahl $mathcal{R}_0$ $frac{alpha}{eta}$ für das folgende System ist, so dass für $mathcal{R}_0>1$ eine Epidemie in die Bevölkerung.

Nehmen wir nun das folgende System mit einer Sterblichkeitsrate von $delta$ an:

Ich frage mich, welche der folgenden Optionen für ${R}_0$ steht.

  1. ${R}_0 = frac{alpha}{eta + delta}$
  2. ${R}_0 = frac{alpha}{etadelta}$
  3. ${R}_0 = frac{alpha}{eta}+frac{alpha}{delta}$

Könnten Sie die richtige Option mit ihrer Begründung markieren?

Vielen Dank


Die einzige numerisch sinnvolle Antwort ist 1. Das Produkt der beiden Raten Beta und Delta (Erholung * Tod) hat im SIR keine Bedeutung. Und in Antwort drei verdoppeln Sie die Infektionsrate (Alpha). Umgekehrt spielt es für R_0 keine Rolle, wie die Leute die Infizierte-Klasse verlassen, sobald Sie entweder tot sind oder sich erholt haben, übertragen Sie die Krankheit nicht mehr. Daher kann man sagen, dass Zeta mit einem gewissen Wert der Ausstieg aus der Infiziertenklasse ist und Zeta die Summe aller Raten ist, die eine Person davon abhalten, infektiös zu sein


Zugegeben, ich habe nicht mit SIR-Modellen gearbeitet, aber für mich ist die Antwort definitiv Nr. 1.

Grundsätzlich ist $R_0$ als die Anzahl der Sekundärinfektionen eines einzelnen Individuums in einer nicht infizierten Population definiert. Es wird manchmal beschrieben als:

$ R_0 = gamma *c * d$,

wobei $gamma$ die Wahrscheinlichkeit der Übertragung der Krankheit ist, $c$ die durchschnittliche Kontaktrate (Begegnungsrate mit anderen Personen) und $d$ die durchschnittliche Länge der Infektion (das ist $1/eta$, dort $ beta$ ist die Wiederherstellungsrate). In Ihrem obigen Ausdruck $alpha = gamma*c$.

In diesem einfachen Modell von $R_0$ entspricht das Hinzufügen einer Sterblichkeitsrate im Grunde dem Hinzufügen einer weiteren Möglichkeit, von der Ansteckungsfähigkeit befreit zu werden (Sie können sich entweder erholen oder sterben). Daher ist die erwartete Ansteckungszeit (vorher $1/eta$) jetzt die Summe von zwei Raten, $1/(eta + delta)$, wobei $delta$ die Sterberate ist (die Multiplikation der beiden Raten wäre ähnlich der Schätzung der Wahrscheinlichkeit, dass sich jemand erholt und an der Infektion stirbt). Dies bedeutet, dass $R_0$ mit einer Todesrate wie folgt ist:

$$ R_0 = frac{gammac}{eta+delta} = frac{alpha}{eta+delta}$$

Es gibt jedoch auch kompliziertere (und realistischere) Möglichkeiten, Situationen mit einer Sterberate zu modellieren.

(Ich habe meine Antwort vor @Artems netter Antwort begonnen, weshalb ich dies als ergänzende Antwort poste.)


Schätzung der zeitvariablen Reproduktionszahl von COVID-19 mit einer State-Space-Methode

Nachdem die Ausbreitung des neuartigen Coronavirus COVID-19 verlangsamt wurde, haben viele Länder angesichts kritischer Schäden an sozioökonomischen Strukturen damit begonnen, ihre Haftmaßnahmen zu lockern. In diesem Stadium ist es wünschenswert zu überwachen, inwieweit politische Maßnahmen oder soziale Angelegenheiten Einfluss auf die Ausbreitung von Krankheiten genommen haben. Obwohl es schwierig ist, die individuelle Übertragung von Infektionen mit langen und sehr unterschiedlichen Inkubationszeiten zurückzuverfolgen, ist eine Schätzung der durchschnittlichen Ausbreitungsrate möglich, wenn ein geeignetes mathematisches Modell zur Analyse der täglichen Ereignisereignisse entwickelt werden kann. Um eine genaue Bewertung zu ermöglichen, haben wir eine Zustandsraummethode entwickelt, um eine zeitdiskrete Variante des Hawkes-Prozesses an einen gegebenen Datensatz täglich bestätigter Fälle anzupassen. Die vorgeschlagene Methode erfasst Veränderungen in jedem Land und bewertet die Auswirkungen gesellschaftlicher Ereignisse anhand der zeitlich variierenden Reproduktionszahl, die der durchschnittlichen Zahl der direkt durch einen einzelnen Infizierten verursachten Fälle entspricht. Darüber hinaus lassen sich mit der vorgeschlagenen Methode mögliche Folgen alternativer politischer Maßnahmen vorhersagen. Diese Informationen können als Referenz für Verhaltensrichtlinien dienen, die entsprechend dem unterschiedlichen Infektionsrisiko übernommen werden sollten.


Das SIR-Modell für die Ausbreitung von Krankheiten - Das Differentialgleichungsmodell

Als ersten Schritt im Modellierungsprozess identifizieren wir die unabhängigen und abhängigen Variablen. Die unabhängige Variable ist die Zeit  T,  in Tagen gemessen. Wir betrachten zwei verwandte Sätze abhängiger Variablen.

Der erste Satz abhängiger Variablen zählt Personen in jeder der Gruppen, jeweils als Funktion der Zeit:

S = S(t) ist die Zahl der anfällig Einzelpersonen,
I = I(t) ist die Zahl der infiziert Einzelpersonen, und
R = R(t) ist die Zahl der erholt Einzelpersonen.

Der zweite Satz abhängiger Variablen repräsentiert die Fraktion der Gesamtbevölkerung in jeder der drei Kategorien. Also, wenn  n  ist die Gesamtbevölkerung (in unserem Beispiel 7.900.000), die wir haben

s(t) = S(t)/N, der anfällige Teil der Bevölkerung,
i(t) = I(t)/N, der infizierte Anteil der Bevölkerung und
r(t) = R(t)/N, der erholte Anteil der Bevölkerung.

Es mag natürlicher erscheinen, mit Bevölkerungszahlen zu arbeiten, aber einige unserer Berechnungen werden einfacher, wenn wir stattdessen die Brüche verwenden. Die beiden Sätze abhängiger Variablen sind proportional zueinander, sodass jeder Satz uns die gleichen Informationen über den Verlauf der Epidemie liefert.

    Unter den Annahmen, die wir getroffen haben, wie denkst du  NS)  sollte mit der Zeit variieren? Wie soll  r(t)  mit der Zeit variieren? Wie soll  es)  mit der Zeit variieren?

Als nächstes machen wir einige Annahmen über die Änderungsraten unserer abhängigen Variablen:

Niemand ist hinzugefügt zur anfälligen Gruppe, da wir Geburten und Einwanderung ignorieren. Der einzige Weg ein Individuum Laub die anfällige Gruppe besteht darin, sich zu infizieren. Wir nehmen an, dass die Zeitänderungsrate von  NS),  die Nummer der anfälligen Personen, 1 hängt von der Anzahl bereits anfälliger Personen, der Anzahl der bereits infizierten Personen und der Kontaktmenge zwischen anfälligen und infizierten Personen ab. Nehmen wir insbesondere an, dass jede infizierte Person eine feste Nummer   . hatB  von Kontakten pro Tag, die ausreichen, um die Krankheit zu verbreiten. Nicht alle diese Kontakte sind mit anfälligen Personen. Wenn wir von einer homogenen Durchmischung der Population ausgehen, gilt Fraktion von diesen Kontakten, die mit anfälligen Personen sind, ist  NS).  Somit erzeugt jede infizierte Person im Durchschnitt  b s(t)  neue Infizierte pro Tag. [Bei einer großen anfälligen Population und einer relativ kleinen infizierten Population können wir schwierige Zählsituationen ignorieren, wie z.

Sehen wir uns an, was uns diese Annahmen über Ableitungen unserer abhängigen Variablen sagen.

    Die anfällige Gleichung . Erklären Sie sorgfältig, wie jede Komponente der Differentialgleichung

(1)

folgt aus dem Text vor diesem Schritt. Bestimmtes,

    Warum ist der Faktor  Es)  vorhanden?

(3)

folgt aus einer der Annahmen vor Schritt 4.

(4)

Welche Annahme über das Modell spiegelt dies wider? Erklären Sie nun sorgfältig, wie jede Komponente der Gleichung

(5)

folgt aus dem, was Sie bisher getan haben. Bestimmtes,

Schließlich vervollständigen wir unser Modell, indem wir jeder Differentialgleichung eine Anfangsbedingung geben. Gegen dieses spezielle Virus – die Hongkong-Grippe in New York City in den späten 1960er Jahren – war zu Beginn der Epidemie kaum jemand immun, so dass fast jeder anfällig war. Wir gehen davon aus, dass es in der Bevölkerung nur eine Spur einer Infektion gab, sagen wir, 10 Personen. 2  Daher sind unsere Anfangswerte für die Populationsvariablen

S(0) =ه,900.000
I(0) =㺊
R(0) =ـ

Bezogen auf die skalierten Variablen sind diese Anfangsbedingungen

s(0) =ف
i(0) =ف.27 x㺊 - 6
r(0) =ـ

(Hinweis: Die Summe unserer Startpopulationen ist nicht genau  n,  noch ist die Summe unserer Brüche genau  1.  Die Infektionsspuren sind so gering, dass dies keinen Unterschied macht.) Unser komplettes Modell ist

Wir kennen keine Werte für die Parameter  B  und    , aber wir können sie schätzen und dann nach Bedarf anpassen, um die überzähligen Todesdaten anzupassen. Wir haben die durchschnittliche Ansteckungsdauer bereits auf drei Tage geschätzt, das würde also auf   . schließen lassenk =ف/3.  Wenn wir vermuten, dass jeder Infizierte alle zwei Tage einen möglicherweise infizierten Kontakt aufnehmen würde, dann  B  wäre  1/2.  Wir betonen, dass dies nur eine Vermutung ist. Das folgende Diagramm zeigt die Lösungskurven für diese Auswahl von  B  und  k

    In den Schritten 1 und 2 haben Sie Ihre Vorstellungen festgehalten, wie die Lösungsfunktionen aussehen sollen. Wie lassen sich diese Ideen mit der obigen Abbildung vergleichen? Bestimmtes,

    Was halten Sie von der relativ geringen Infektionsrate auf dem Höhepunkt der Epidemie?

In Teil 3 werden wir sehen, wie Lösungskurven auch ohne Formeln für die Lösungsfunktionen berechnet werden können.

1  Beachten Sie, dass wir das Adjektiv „anfällig“ in ein Substantiv umgewandelt haben. In der Epidemiologie ist es üblich, sich auf "Anfällige", "Infizierte" und "Erholte" zu beziehen, anstatt immer längere Ausdrücke wie "Bevölkerung anfälliger Menschen" oder sogar "die anfällige Gruppe" zu verwenden.

2  Während ich(0) ist normalerweise klein im Vergleich zu n, Wir müssen haben I(0) >ـ damit sich eine Epidemie entwickelt. Gleichung (5) sagt ganz vernünftigerweise, dass wenn Ich =ـ zum Zeitpunkt 0 (oder jederzeit), dann dI/dt =ـ auch, und es kann nie eine Steigerung von der 0 Infektionsniveau.

David Smith und Lang Moore, "Das SIR-Modell für die Ausbreitung von Krankheiten - Das Differentialgleichungsmodell", Konvergenz (Dezember 2004)


Ableitung der Formeln

Wir wollen nun die Zahl der Infizierten, Anfälligen und Genesenen für alle Tage nur aus β, γ und N erhalten. Nun ist es schwierig, eine direkte Formel für S(t), I(t) und R(t) zu erhalten. . Es ist jedoch ganz einfach, die . zu beschreiben Wechsel pro Tag von S, I und R, d. h. wie sich die Anzahl der anfälligen/infizierten/wiederhergestellten in Abhängigkeit von den aktuellen Zahlen ändert. Auch hier leiten wir die Formeln anhand eines Beispiels ab:

Wir sind jetzt am Tag t nach Ausbruch von Krankheit X. Dennoch ist die erwartete Anzahl von Menschen, die eine infizierte Person pro Tag ansteckt, 1 (also β=1) und die Anzahl der Tage, die eine infizierte Person hat und die Krankheit verbreiten kann, beträgt 7 (also γ=1/7 und D=7).

Nehmen wir an, an Tag t sind 60 Menschen infiziert (also I(t)=60), die Gesamtbevölkerung beträgt 100 (also N=100) und 30 Menschen sind noch anfällig (also S(t)=30 und R( t)=100–60–30=10). Wie ändern sich nun S(t) und I(t) und R(t) auf den nächsten Tag?

Wir haben 60 Infizierte. Jeder von ihnen infiziert 1 Person pro Tag (das ist β). Allerdings sind nur 30/100 = 30 % der Menschen, die sie treffen, noch anfällig und können infiziert werden (das ist S(t) / N). Sie infizieren also 60 ⋅ 1 ⋅ 30/100 = 18 Personen (noch mal überlegen, bis es wirklich Sinn macht: 60 Infizierte, die durchschnittlich 1 Person pro Tag anstecken, aber nur 30 von 100 Menschen können noch infiziert werden, also sie nicht 60⋅1 Personen anstecken, sondern nur 60⋅1⋅30/100 = 18 Personen). 18 Personen der Anfälligen infizieren sich also, also ändert sich S(t) um minus 18. Durch Einsetzen der Variablen haben wir gerade die erste Formel abgeleitet:

Änderung von S(t) zum nächsten Tag = - β ⋅ I(t) ⋅ S(t) / N.

Wenn Sie mit Analysis vertraut sind, wissen Sie, dass wir einen Begriff haben, um die Änderung einer Funktion: die Ableitung S’(t) oder dS/dt. (Nachdem wir alle Ableitungen S'(t), I'(t) und R'(t) abgeleitet und verstanden haben, können wir die Werte von S(t), I(t) und R(t) für jeden berechnen Tag.)

Wie verändert sich nun die Zahl der Infizierten? Das ist ganz einfach: Es gibt einige neue Infizierte, das haben wir gerade gesehen. Genau die Anzahl der Menschen, die S(t) „verlassen“ und bei I(t) „ankommen“. Wir haben also 18 neue Infizierte und wissen bereits, dass die Formel wie folgt aussehen wird: I'(t) = + β ⋅ I(t) ⋅ S(t) / N (natürlich können wir das Plus weglassen, es ist nur, um Ihnen zu zeigen, dass wir genau den Betrag gewinnen, den S(t) verliert, also ändern wir einfach das Vorzeichen). Es fehlt nur noch eines: Manche Menschen erholen sich. Denken Sie daran, wir haben γ dafür, es ist der Anteil der Infizierten, der sich pro Tag erholt, genau das brauchen wir!

Wir haben 60 Infizierte und γ=1/3, also erholt sich ein Drittel der 60. Das ist 1/3 ⋅ 60 = 20. Schließlich erhalten wir die Formel:

Denken Sie noch einmal eine Minute darüber nach. Der erste Teil ist die Neuinfizierten von den Anfälligen. Der zweite Teil sind die Wiederherstellungen.

Schließlich kommen wir zur letzten Formel, der Veränderung der Wiederfindungen. Das ist ganz einfach: die neu Geborgenen sind genau die 20, die wir gerade berechnet haben, es verlassen keine Personen das „Geborgene“-Fach. Nach der Genesung bleiben sie immun:

Großartig, wir haben jetzt alle Formeln abgeleitet (und verstanden), die wir brauchen! Hier sind sie wieder mit einer häufigeren Notation für die Ableitung und das „(t)“ weggelassen, wie es oft gemacht wird:

Solche Gleichungen heißen gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) (Sie benötigen keine Kenntnisse über sie, um dieser Serie zu folgen).

Wir können jetzt beschreiben, Veränderung in der Zahl der anfälligen, infizierten und genesenen Personen. Aus diesen Formeln können wir glücklicherweise die Zahlen berechnen, die uns wirklich interessieren: S(t), I(t) und R(t), die Anzahl der anfälligen, infizierten und genesenen Personen für jeden Tag t. Zum Glück müssen wir selbst nichts tun, Python bietet viele Tools zum Lösen von ODEs!


Reproduktionsnummer eines SIR-Modells mit Mortalität - Biologie

Die Interepidemieperiode wird aus dem größten imaginären Teil der Eigenwerte der Jacobi-Matrix berechnet, die im endemischen Gleichgewicht bewertet wurden.

Infektionsbahnen zeigen eine numerische Lösung der SEIRS-Gleichungen mit 1.000 Zeitschritten und Anfangsparametern

$S(0) = 0,999 - p$ $E(0) = 0,001$ $I(0) = 0$ $R(0) = p$ $S + E + I + R = N = 1$

wo P ist der Impfanteil.

Wichtige Punkte: Das SEIRS-Modell für die Dynamik von Infektionskrankheiten

Ottar Bjørnstad 1,2 , Katriona Shea 1 , Martin Krzywinski 3 , Naomi Altman 4

1. Fakultät für Biologie, Pennsylvania State University, State College, PA, USA.

2. Abteilung für Entomologie, Pennsylvania State University, State College, PA, USA.

3. Kanadas Michael Smith Genome Sciences Center, Vancouver, British Columbia, Kanada.

4. Institut für Statistik, Pennsylvania State University, State College, PA, USA.

Code herunterladen

Zitat

Versionsgeschichte

23. Mai 2020 v1.0.0 &ndash erste öffentliche Veröffentlichung

22. Juni 2020 v1.0.1 &mdash hat Links zur ersten Spalte hinzugefügt

17. August 2020 v1.0.2 &mdash hat Links zu allen Spalten hinzugefügt

Verwandte Spalten

Shea, K., Bjørnstad, O., Krzywinski, M. & Altman, N. Wichtige Punkte: Unsicherheit und das Management von Epidemien. (2020) Naturmethoden 17 (im Druck). (interaktive Figuren, Downloadcode)


Ableitung des Tot-Kompartiments

Bei sehr tödlichen Krankheiten ist dieses Kompartiment sehr wichtig. Für einige andere Situationen möchten Sie vielleicht ganz andere Kompartimente und Dynamiken hinzufügen (z. B. Geburten und nicht krankheitsbedingte Todesfälle bei der Untersuchung einer Krankheit über einen längeren Zeitraum). Diese Modelle können so komplex werden, wie Sie möchten!

Lassen Sie uns darüber nachdenken, wie wir unsere aktuellen Übergänge nehmen und eine hinzufügen können Dlesen Zustand. Wann können Menschen an der Krankheit sterben? Nur solange sie infiziert sind! Das bedeutet, dass wir eine Transition I → D hinzufügen müssen. Natürlich sterben Menschen nicht sofort Wir definieren eine neue Variable ρ (rho) für die Rate, mit der Menschen sterben (z. B. wenn es 6 Tage dauert, um zu sterben, ist ρ 1/6). Es gibt keinen Grund dafür, dass sich die Erholungsrate, , ändert. Unser neues Modell wird also irgendwie so aussehen:

Das einzige, was fehlt, sind die Wahrscheinlichkeiten, von Infizierten zu Genesenen und von Infizierten zu Toten überzugehen. Das ist eine weitere Variable (die vorerst letzte!), die Sterberate α. Wenn zum Beispiel α=5%, ρ = 1 und γ = 1 (also Menschen sterben oder sich innerhalb von 1 Tag erholen, ist das ein einfacheres Beispiel) und 100 Menschen infiziert sind, dann sterben 5% ⋅ 100 = 5 Menschen. Damit bleiben 95 % ⋅ 100 = 95 Personen, die sich erholen. Alles in allem ist also die Wahrscheinlichkeit für I → D α und damit die Wahrscheinlichkeit für I → R 1-α. Endlich kommen wir zu diesem Modell:

Was natürlich in diese Gleichungen übersetzt wird:


Wie epidemiologische Modelle von COVID-19 uns helfen, die wahre Zahl der Infektionen abzuschätzen

Unsere Welt in Daten präsentiert die Daten und die Forschung, um Fortschritte bei den größten Problemen der Welt zu erzielen.
Unsere Hauptpublikation zur Pandemie ist hier: Coronavirus-Pandemie (COVID-19).

Wir danken den Forschern, deren Arbeit wir in diesem Beitrag behandeln, für hilfreiche Rückmeldungen und Vorschläge. Dankeschön.

Wir aktualisieren die Modellschätzungen wöchentlich mit den neuesten verfügbaren Daten, in der Regel am Montag. Letzte Seitenaktualisierung: 22. Juni 2021. 1

Eine wesentliche Einschränkung unseres Verständnisses der COVID-19-Pandemie besteht darin, dass wir die wahr Zahl der Infektionen. Stattdessen kennen wir nur Infektionen, die durch einen Test bestätigt wurden – die bestätigten Fälle. Aber weil viele Infizierte nie getestet werden, 2 wissen wir, dass bestätigte Fälle nur ein Bruchteil echter Infektionen sind. Aber wie klein ein Bruchteil?

Um diese Frage zu beantworten, haben mehrere Forschungsgruppen epidemiologische Modelle zu COVID-19 entwickelt. Diese Modelle verwenden die uns vorliegenden Daten – bestätigte Fälle und Todesfälle, Testraten und mehr – sowie eine Reihe von Annahmen und epidemiologischem Wissen, um wahre Infektionen und andere wichtige Kennzahlen zu schätzen.

Die Grafik hier zeigt die durchschnittlichen Schätzungen der wahren Zahl der täglichen Neuinfektionen in den USA aus vier der bekanntesten Modelle. 3 Zum Vergleich ist auch die Zahl der bestätigten Fälle angegeben.

Zwei Dinge werden aus dieser Grafik deutlich: Alle vier Modelle stimmen darin überein, dass echte Infektionen weit in der Überzahl bestätigte Fälle.Die Modelle sind sich jedoch nicht einig, wie stark und wie sich Infektionen im Laufe der Zeit verändert haben.

Als die Zahl der bestätigten Fälle in den USA Ende Juli 2020 einen Höhepunkt erreichte, schätzten die IHME- und LSHTM-Modelle, dass die wahre Zahl der Infektionen etwa doppelt so hoch war wie die bestätigten Fälle, das ICL-Modell schätzte sie fast dreimal so hoch. und das Modell von Youyang Gu’ schätzte es auf mehr als sechsmal so hoch. Noch im März war die geschätzte Diskrepanz zwischen bestätigten Fällen und echten Infektionen noch um ein Vielfaches höher.

In diesem Beitrag untersuchen wir diese vier Modelle und wie sie sich unterscheiden, indem wir ihre wesentlichen Elemente auspacken: wofür sie verwendet werden, wie sie funktionieren, auf welchen Daten sie basieren und welche Annahmen sie treffen.

Unser Ziel ist es auch, die Modellschätzungen in unseren interaktiven Diagrammen leicht zugänglich zu machen, damit Sie schnell verschiedene Modelle der Pandemie für die meisten Länder der Welt erkunden können. Klicken Sie dazu einfach in jedem Diagramm auf “Land ändern”.

Drei der vier Modelle, die wir uns ansehen, sind “SEIR” 4 Modelle, 5 die simulieren, wie sich Individuen in einer Population durch vier Zustände einer COVID-19-Infektion bewegen: Sannehmbar, Eausgesetzt, ichansteckend, und Rgeheilt (oder verstorben). Wie sich Individuen durch diese Zustände bewegen, wird von verschiedenen Modellparametern bestimmt, von denen es viele gibt. Zwei wichtige sind die effektive Reproduktionszahl (Rt) 6 – wie viele andere Personen eine Person mit COVID-19 zu einem bestimmten Zeitpunkt ansteckt – und die Infektionssterblichkeitsrate (IFR) – der Prozentsatz der infizierten Personen mit einer Krankheit, die daran sterben.

Sie können mehr über die Funktionsweise von SEIR-Modellen erfahren, indem Sie diese Ressourcen erkunden:

Klicken Sie hier, um die interaktive Version zu öffnen

Imperial College London (ICL)

Altersstrukturiertes SEIR-Modell mit Fokus auf Länder mit niedrigem und mittlerem Einkommen (Details Stand 23. August 2020)

Dieses Diagramm zeigt die Schätzungen des ICL-Modells der wahren Zahl der täglichen Neuinfektionen in den Vereinigten Staaten. Um die Schätzungen für andere Länder anzuzeigen, klicken Sie auf “Land ändern.” Die mit “upper” und “lower” gekennzeichneten Linien zeigen die Grenzen eines 95%-Unsicherheitsintervalls. Zum Vergleich wird auch die Zahl der bestätigten Fälle angezeigt.

Webseite
Abgedeckte Regionen

164 Länder und Territorien auf der ganzen Welt

Abgedeckte Zeit

Das erste abgedeckte Datum ist der geschätzte Beginn der Pandemie für jedes Land. Das Modell erstellt Prognosen, die sich über 90 Tage nach dem letzten Aktualisierungsdatum erstrecken. 7

Aktualisierungsfrequenz
Was ist das Modell?

Das Modell ist eine stochastische SEIR-Variante mit mehreren Infektionszuständen, um unterschiedliche COVID-19-Schweregrade widerzuspiegeln, wie z. B. leicht oder asymptomatisch gegenüber schwer.

Wozu dient das Modell?

ICL beschreibt sein Modell als Instrument, um Ländern zu helfen, zu verstehen, in welchem ​​Stadium sich das Land in seiner Epidemie befindet (z. Diese Szenarien sollen eine kontrafaktische Darstellung dessen bieten, was passieren könnte, wenn die derzeitigen Interventionen beibehalten, verstärkt oder gelockert würden, und sind daher nicht dazu gedacht, die zukünftige Sterblichkeit vorherzusagen.

ICL verwendet die Modellschätzungen, um Berichte für einzelne Länder mit niedrigem und mittlerem Einkommen (LMICs) zu schreiben, die sich relativ früh in ihren Epidemien befinden. Diese Berichte konzentrieren sich auf die nächsten 28 Tage. Die herunterladbaren Modellschätzungen enthalten zusätzlich Daten für einige Länder mit hohem Einkommen im späteren Verlauf ihrer Epidemien (z. B. die USA und EU-Länder) und Prognosen für 90 Tage in die Zukunft.

Basierend auf dem Modell veröffentlicht ICL Schätzungen der folgenden Metriken:

  • Echte Infektionen (bisher und prognostiziert)
  • Bestätigte Todesfälle (voraussichtlich)
  • Bedarf an Krankenhäusern und Intensivstationen (aktuell und prognostiziert)
  • Effektive Reproduktionszahl, Rt (bisher und prognostiziert)
Auf welchen Daten basiert das Modell?

Das Modell ist 𠇏it” an Daten zu bestätigten Todesfällen 8 , indem eine geschätzte IFR verwendet wird, um “zurückzurechnen”, wie viele Infektionen in den letzten Wochen wahrscheinlich zu dieser Anzahl von Todesfällen geführt hätten. Es verwendet Mobilitätsdaten – von Google oder, falls nicht verfügbar, abgeleitet von ACAPS-Behördenmessdaten –, um den Rt zu modulieren, den Schlüsselparameter dafür, wie sich die Übertragung ändert.

Darüber hinaus verwendet das Modell alters- und länderspezifische Daten zu Demografie, sozialen Kontaktmustern, Krankenhausverfügbarkeit und Krankenhauseinweisungs- und Sterberisiko, wobei die Verfügbarkeit dieser Daten je nach Land variiert.

Was sind wichtige Annahmen und potenzielle Einschränkungen?

Das Modell verwendet eine geschätzte IFR für jedes Land, die durch Anwendung altersspezifischer IFRs aus China und Europa (von etwa 0,6𠄱%) auf die Altersverteilung dieses Landes berechnet wird. In Ländern wie vielen LMICs mit jüngerer Bevölkerung als in China und Europa führt dies zu IFR-Schätzungen von typischerweise 0,2𠄰.3%, da jüngere Bevölkerungen niedrigere Sterblichkeitsraten aufweisen. Diese niedrigeren Sterblichkeitsraten setzen jedoch den Zugang zu einer ausreichenden Gesundheitsversorgung voraus, was in LMICs möglicherweise nicht immer der Fall ist. Unterschiede zwischen den geschätzten und den wahren IFRs können die Genauigkeit der Modellschätzungen beeinträchtigen.

Das Modell geht davon aus, dass die Zahl der bestätigten Todesfälle der tatsächlichen Zahl der Todesfälle entspricht. Untersuchungen zur Übersterblichkeit und bekannten Einschränkungen bei der Test- und Meldekapazität deuten jedoch darauf hin, dass bestätigte Todesfälle oft weniger sind als echte Todesfälle. Wenn dies der Fall ist, unterschätzt das Modell wahrscheinlich die wahre Gesundheitsbelastung.

Das Modell geht davon aus, dass die zeitliche Änderung der Übertragung eine Funktion der durchschnittlichen Mobilitätstrends für Orte wie Geschäfte und Arbeitsplätze, aber nicht für Parks und Wohngebiete ist. 9 Wenn diese Annahmen zu Mobilität und Übertragung nicht zutreffen, kann das Modell die Pandemie möglicherweise nicht genau verfolgen.

Wie alle Modelle macht auch dieses viele Annahmen, und wir behandeln hier nur einige wenige. Eine vollständige Liste finden Sie in der Beschreibung der Modellmethoden.

Klicken Sie hier, um die interaktive Version zu öffnen

Institut für Gesundheitsmetrik und Evaluation (IHME)

Hybrides Statistik-/SEIR-Modell (Details Stand 23.08.2020)

Diese Grafik zeigt die Schätzungen des IHME-Modells der wahren Zahl der täglichen Neuinfektionen in den Vereinigten Staaten. Um die Schätzungen für andere Länder anzuzeigen, klicken Sie auf “Land ändern.” Die Linien mit den Bezeichnungen “upper” und “lower” zeigen die Grenzen eines 95%-Unsicherheitsintervalls. Zum Vergleich wird auch die Zahl der bestätigten Fälle angezeigt.

Webseite
Abgedeckte Regionen

159 Länder und Territorien auf der ganzen Welt, einschließlich subnationaler Daten für die USA und mehrere andere Länder

Abgedeckte Zeit

Das erste abgedeckte Datum variiert je nach Land. Das Modell erstellt Prognosen, die ungefähr 90� Tage über das letzte Aktualisierungsdatum hinausgehen.

Aktualisierungsfrequenz

Ungefähr einmal pro Woche (obwohl nicht alle Länder jedes Mal aktualisiert werden)

Was ist das Modell?

Das Modell ist ein Hybrid mit zwei Hauptkomponenten: Eine statistische “Todesmodell”-Komponente erzeugt Todesschätzungen, die verwendet werden, um eine SEIR-Modellkomponente anzupassen.

Beachten Sie, dass das Modell seit seiner ersten Veröffentlichung zwei bedeutende Aktualisierungen erhalten hat:

Wozu dient das Modell?

IHME beschreibt sein Modell als Instrument, das Regierungsbeamten hilft zu verstehen, wie sich verschiedene politische Entscheidungen auf den Verlauf der Pandemie auswirken könnten, und um die sich ändernde Nachfrage im Gesundheitswesen zu planen.

Das Modell erstellt Todesprognosen, die stark publiziert und manchmal kritisiert wurden. 10 Obwohl ein Großteil der Kritik an einer früheren Version des Modells geübt wurde, bekannt als 𠇌urveFit,”, die verwendet wurde, bevor die SEIR-Komponente am 4. Mai hinzugefügt wurde. Die Hochrechnungen erfolgen unter derzeit drei Szenarien. 11

Basierend auf dem Modell veröffentlicht IHME Schätzungen der folgenden Metriken:

  • Echte Infektionen (bisher und prognostiziert)
  • Bestätigte Todesfälle (voraussichtlich)
  • Bedarf von Krankenhäusern, Intensivstationen und Beatmungsgeräten (aktuell und prognostiziert)
  • Effektive Reproduktionszahl, Rt (bisher und prognostiziert)
  • Teststufen (voraussichtlich)
  • Mobilität als Stellvertreter für soziale Distanzierung (voraussichtlich)
Auf welchen Daten basiert das Modell?

Das Todesmodell verwendet Daten zu bestätigten Fällen, bestätigten Todesfällen, 12 und Tests. 13

Das SEIR-Modell wird an die Ausgabe des Todesmodells angepasst, indem eine geschätzte IFR verwendet wird, um die wahre Zahl der Infektionen zurückzurechnen.

Das Modell verwendet mehrere andere Arten von Daten, um die Übertragung und das Fortschreiten der Krankheit zu simulieren: Mobilität, Maßnahmen zur sozialen Distanzierung, Bevölkerungsdichte, Saisonabhängigkeit und Sterblichkeitsrate bei Lungenentzündung, Luftverschmutzung, Höhe, Raucherquoten und selbst gemeldete Kontakte und Maskengebrauch. Einzelheiten zu den Quellen dieser Daten finden Sie auf den Modell-FAQs und den Seiten zu Schätzungsaktualisierungen.

Was sind wichtige Annahmen und potenzielle Einschränkungen?

Das Modell verwendet einen geschätzten IFR basierend auf Daten des Kreuzfahrtschiffes Diamond Princess und Neuseeland. Obwohl IHME hierfür keine Zahlen angibt, wurde der Diamond Princess IFR auf 0,6 % (95 % Unsicherheitsintervall von 0,2𠄱,3 %) geschätzt. 14 Unterschiede zwischen den geschätzten und den wahren IFRs können die Genauigkeit der Modellschätzungen beeinträchtigen.

Das Sterbemodell macht mehrere Annahmen über die Beziehung zwischen bestätigten Todesfällen, bestätigten Fällen und Testniveaus. Zum Beispiel, dass eine abnehmende Fall Sterblichkeitsrate (CFR) – das Verhältnis von Bestätigt Todesfälle zu Bestätigt Fälle 15 – spiegelt zunehmende Tests und eine Verschiebung hin zum Testen leichter oder asymptomatischer Fälle wider. Der CFR könnte aber auch aus anderen Gründen sinken, etwa einer verbesserten Behandlung oder einem Rückgang des Durchschnittsalters der Infizierten.

Das Modell geht davon aus, dass die zeitliche Änderung der Übertragung von mehreren Dateneingaben (oben aufgelistet) wie Mobilität und Bevölkerungsdichte abhängt. Wenn diese Annahmen nicht zutreffen –, weil die Daten beispielsweise weniger relevant sind oder ihr Zusammenhang mit der Übertragung falsch angegeben ist –, kann das Modell die Pandemie möglicherweise nicht genau verfolgen.

Weitere Details werden in den Modell-FAQs und in verschiedenen Berichten zur Schätzungsaktualisierung erörtert.

Klicken Sie hier, um die interaktive Version zu öffnen

Youyang Gu (YYG)

SEIR-Modell mit Machine-Learning-Schicht (Details Stand 23.08.2020)
Update: Youyang Gu gab bekannt, dass der 5. Oktober 2020 das letzte Modell-Update ist

Dieses Diagramm zeigt die Schätzungen des YYG-Modells der wahren Zahl der täglichen Neuinfektionen in den Vereinigten Staaten. Um die Schätzungen für andere Länder anzuzeigen, klicken Sie auf “Land ändern.” Die mit “upper” und “lower” gekennzeichneten Linien zeigen die Grenzen eines 95%-Unsicherheitsintervalls. Zum Vergleich wird auch die Zahl der bestätigten Fälle angezeigt.

Webseite
Abgedeckte Regionen

71 Länder weltweit, einschließlich subnationaler Daten für die USA und Kanada

Abgedeckte Zeit

Das erste abgedeckte Datum variiert je nach Land. Das Modell erstellt Prognosen, die sich ungefähr 90 Tage über das letzte Aktualisierungsdatum hinaus erstrecken.

Aktualisierungsfrequenz
Was ist das Modell?

Das Modell besteht aus einer SEIR-Basis mit einer darüberliegenden Schicht für maschinelles Lernen, um nach den Parametern zu suchen, die den Fehler zwischen den Modellschätzungen und den beobachteten Daten minimieren.

Wozu dient das Modell?

Youyang beschreibt sein Modell so, dass es Vorhersagen von echten Infektionen und Todesfällen erstellt, die für die Vorhersagegenauigkeit optimiert werden. Er betont jedoch auch, dass seine Projektionen eine Reihe möglicher Ergebnisse abdecken und dass Projektionen nicht �lsch” sind, wenn sie zu einem anderen Ergebnis in der Zukunft beitragen.

Basierend auf dem Modell veröffentlicht Youyang Schätzungen der folgenden Metriken:

  • Echte Infektionen (bisher und prognostiziert)
  • Bestätigte Todesfälle (voraussichtlich)
  • Effektive Reproduktionszahl, Rt (bisher und prognostiziert)
  • Tests pro Tag Ziele (voraussichtlich)

Das Modell konzentriert sich nicht auf Prognosen unter verschiedenen Szenarien, sondern hat untersucht, was passiert wäre, wenn die USA eine Woche früher oder eine Woche später soziale Distanzierung angeordnet hätten oder wenn sich 20 % der Infizierten sofort selbst unter Quarantäne gestellt hätten.

Auf welchen Daten basiert das Modell?

Das Modell wird an Daten zu bestätigten Todesfällen 16 angepasst, indem eine geschätzte IFR verwendet wird, um die wahre Zahl der Infektionen zurückzurechnen. Bestätigte Fälle und Krankenhausaufenthaltsdaten werden manchmal verwendet, um Grenzen für die Parametersuche für maschinelles Lernen festzulegen.

Was sind wichtige Annahmen und potenzielle Einschränkungen?

Das Modell verwendet eine geschätzte IFR für jede Region, die zunächst auf der beobachteten CFR dieser Region basiert. Die IFR wird dann über einen Zeitraum von drei Monaten linear um 17 verringert, bis sie 30 % ihres Anfangswerts beträgt, um das niedrigere Durchschnittsalter der Infektionen widerzuspiegeln und die Behandlungen zu verbessern. Derzeit wird der IFR in den meisten USA und Europa auf 0,2𠄰.4% geschätzt. Unterschiede zwischen den geschätzten und den wahren IFRs können die Genauigkeit der Modellschätzungen beeinträchtigen.

Das Modell geht davon aus, dass es in den 𠇎rsten Wochen” der Pandemie einer Region nicht gemeldete Todesfälle geben wird und dass diese Untererfassung so lange zurückgehen wird, bis die Zahl der bestätigten Todesfälle den tatsächlichen Todesfällen entspricht. Wie bereits erwähnt, ist dies häufig nicht der Fall, sodass das Modell die wahre Gesundheitsbelastung möglicherweise unterschätzt.

Das Modell macht Annahmen darüber, wie sich die Wiedereröffnung auf die soziale Distanzierung und letztendlich die Übertragung auswirkt. Wenn beispielsweise die Wiedereröffnung zu einem Wiederaufleben von Infektionen führt, geht das Modell davon aus, dass Regionen Maßnahmen ergreifen, um die Übertragung zu reduzieren, was durch die Begrenzung der Rt. Es wird auch ein Wiedereröffnungsdatum für Regionen (insbesondere außerhalb der USA und Europas) angenommen, in denen das wahre Datum unbekannt ist.

Das Modell wurde für die USA erstellt und optimiert. Daher könnten die Modellschätzungen für andere Länder weniger genau sein.

Eine vollständige Liste der Annahmen und Einschränkungen finden Sie auf der Seite “Über” zum Modell.

Klicken Sie hier, um die interaktive Version zu öffnen

London School of Hygiene & Tropical Medicine (LSHTM)

Statistisches Modell zur Schätzung der Untererfassung von Infektionen (Details Stand 23.08.2020)

Diese Grafik zeigt die Schätzungen des LSHTM-Modells der wahren Zahl der täglichen Neuinfektionen in den Vereinigten Staaten. Um die Schätzungen für andere Länder anzuzeigen, klicken Sie auf “Land ändern.” Die mit “upper” und “lower” gekennzeichneten Linien zeigen die Grenzen eines 95%-Unsicherheitsintervalls. Zum Vergleich wird auch die Zahl der bestätigten Fälle angezeigt.

Webseite
Abgedeckte Regionen

159 Länder und Territorien auf der ganzen Welt (die mit mindestens 10 bestätigten Todesfällen von insgesamt 210)

Abgedeckte Zeit

Das erste abgedeckte Datum variiert je nach Land. Das Modell macht keine Projektionen.

Aktualisierungsfrequenz
Was ist das Modell?

Das Modell beginnt mit dem CFR eines Landes und passt ihn an die Tatsache an, dass zwischen der Bestätigung des Falles und dem Tod (oder der Genesung) eine Verzögerung von ungefähr 2𠄳 Wochen liegt. 18 Dieser verzögerungsbereinigte CFR wird dann mit einem verzögerungsbereinigten Basislinien-CFR verglichen, um die 𠇊scertainment-Rate” – der Anteil aller symptomatisch Infektionen, die tatsächlich bestätigt wurden. 19

Diese geschätzte Feststellungsrate wird dann verwendet, um die Zahl der bestätigten Fälle 20 anzupassen, um die wahre Zahl der symptomatischen Infektionen abzuschätzen. Um endlich abzuschätzen gesamt Infektionen, die Schätzung der symptomatischen Infektionen wird angepasst, um asymptomatisch Infektionen, die schätzungsweise 10�% (Median 50%) der Gesamtinfektionen ausmachen. 21

Wozu dient das Modell?

LSHTM beschreibt sein Modell als ein Werkzeug, um das Ausmaß des unentdeckten Fortschreitens der Epidemie zu verstehen und die Reaktionsplanung zu unterstützen, z.

Basierend auf dem Modell veröffentlicht LSHTM Schätzungen der Ermittlungsquote.

Auf welchen Daten basiert das Modell?

Das Modell basiert auf Daten zu bestätigten Todesfällen und bestätigten Fällen. 22

Was sind wichtige Annahmen und potenzielle Einschränkungen?

Das Modell geht davon aus, dass ein verzögerungsbereinigter CFR-Basiswert von 1,4 % liegt und dass jeder Unterschied zwischen diesem und dem verzögerungsbereinigten CFR eines Landes vollständig auf eine unzureichende Ermittlung zurückzuführen ist. Aber auch viele andere Faktoren dürften eine Rolle spielen, etwa die Belastung des Gesundheitssystems, COVID-19-Risikofaktoren in der Bevölkerung, das Alter der Infizierten und mehr.

Der angenommene Baseline-CFR basiert auf Daten aus China und berücksichtigt nicht unterschiedliche Altersverteilungen außerhalb Chinas. Dies führt dazu, dass die Erfassungsrate in Ländern mit jüngerer Bevölkerung überschätzt und in Ländern mit älterer Bevölkerung unterschätzt wird. 23

Das Modell geht davon aus, dass die Zahl der bestätigten Todesfälle der tatsächlichen Zahl der Todesfälle entspricht. Wie bereits erwähnt, ist dies häufig nicht der Fall, sodass das Modell möglicherweise die wahre Gesundheitsbelastung unterschätzt.

Die Daten zu gemeldeten Todesfällen werden manchmal rückwirkend geändert, was für das Modell eine Herausforderung darstellen und seine Schätzungen beeinflussen kann.

Weitere Annahmen und Einschränkungen werden im vollständigen Bericht erörtert.

Klicken Sie hier, um die interaktive Version zu öffnen

Wie sollten wir über diese Modelle und ihre Schätzungen denken?

Alle vier Modelle, die wir uns angesehen haben, stimmen darin überein, dass die Anzahl der bestätigten Fälle bei echten Infektionen bei weitem übertrifft, aber sie sind sich inwieweit nicht einig. Wir haben nun einen Einblick in diese Unterschiede: Die Modelle unterscheiden sich alle zu einem gewissen Grad darin, wofür sie verwendet werden, wie sie funktionieren, auf welchen Daten sie basieren und welche Annahmen sie treffen.

Die Transparenz dieser Unterschiede hilft uns zu verstehen, wie wir über diese Modelle und ihre Schätzungen denken sollten. Wenn Sie beispielsweise verstehen, dass einige Modelle für die Szenarioplanung und nicht für Prognosen verwendet werden (wie ICL’s), während andere auf Prognosegenauigkeit optimiert sind (wie Youyang’s), werden ihre Schätzungen in einen Kontext gesetzt. Und die Modelle machen alle unterschiedliche Annahmen, die jeweils Einschränkungen haben, von denen wir entscheiden können, ob diese Einschränkungen für eine bestimmte Situation relevant sind.

Am Ende wollen wir aber trotzdem darauf vertrauen, dass Modelle die Pandemie genau verfolgen können. Wir können unser Vertrauen in verschiedene Modelle kalibrieren, indem wir ihre Schätzungen einem Realitätscheck unterziehen.

Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, Modellschätzungen mit einigen beobachteten „Ground-Truth"-Daten zu vergleichen. Wenn ein Modell beispielsweise die Zahl der Todesfälle in vier Wochen prognostiziert, können wir vier Wochen warten und die Prognose mit den tatsächlich eingetretenen Todesfällen vergleichen. 24

Aber manchmal lässt sich die Ground Truth nicht so leicht beobachten, wie es bei der wahren Zahl der Infektionen der Fall ist. Hier müssen wir suchen konvergierende Beweise aus anderer Forschung, etwa aus Seroprävalenzstudien, die auf COVID-19-Antikörper im Blutserum testen, um abzuschätzen, wie viele Menschen sich jemals infiziert haben. 25

Indem wir ein tieferes, differenzierteres Verständnis dieser Modelle und ihrer Stärken und Schwächen erlangen, können wir sie als wertvolle Instrumente nutzen, um Fortschritte bei der Bekämpfung der Pandemie zu erzielen.

Endnoten

Das Datum, an dem diese Seite aktualisiert wurde, stimmt nicht unbedingt mit dem Datum überein, an dem die Modellschätzungen selbst aktualisiert wurden. Die Aktualisierungsdaten der Modellschätzungen finden Sie in den einzelnen Modelldiagrammen unten. Überprüfen Sie die Modellwebsites auf die neuesten Updates.

Infizierte Personen können aus verschiedenen Gründen nicht getestet werden, beispielsweise weil sie keinen einfachen Zugang zu Tests haben oder nicht einmal wissen, dass sie infiziert sind, weil sie keine Symptome haben (obwohl sie das Virus immer noch übertragen können). Solche asymptomatischen Infektionen werden auf 10–70% der Gesamtinfektionen geschätzt. Quelle: CDC COVID-19-Pandemieplanungsszenarien.

Neben diesen vier sind viele weitere Modelle im Einsatz, darunter auch andere von den hier behandelten Forschungsgruppen. Wir haben diese vier Modelle ausgewählt, weil sie prominent sind, von politischen Entscheidungsträgern verwendet werden und regelmäßig aktualisiert werden. Wir verwenden sie eher zur Veranschaulichung als zur Vollständigkeit.

Wird ausgesprochen, indem man jeden Buchstaben „S-E-I-R“ sagt.

Das Modell der London School ist kein SEIR-Modell.

Auch als “zeitvariierende” Reproduktionsnummer bezeichnet.

Während Projektionen ein wichtiger Aspekt dafür sind, wofür dieses und einige andere Modelle verwendet werden, behandeln wir sie in diesem Artikel nicht.

Wie vom Europäischen Zentrum für die Prävention und die Kontrolle von Krankheiten (ECDC) berichtet.

Das Modell geht davon aus, dass in Parks „erhebliche Kontaktereignisse vernachlässigbar sind“ und dass „eine Zunahme der Wohnbewegung die Haushaltskontakte nicht ändert“.

Weitere Informationen zu den Szenarien finden Sie in den Modell-FAQs.

Bestätigte Daten zu Fällen und Todesfällen, wie von der Johns Hopkins University und mehreren offiziellen Quellen gemeldet.

Wie vom COVID-Tracking-Projekt (für die USA), offiziellen Quellen (Brasilien und Dominikanische Republik) und Our World in Data (alle anderen Länder) berichtet.

Russell et al. (2020). Schätzung der Infektions- und Sterberate bei der Coronavirus-Krankheit (COVID-19) anhand altersbereinigter Daten vom Ausbruch auf dem Kreuzfahrtschiff Diamond Princess. Euroüberwachung, 25(12). https://doi.org/10.2807/1560-7917.ES.2020.25.12.2000256

Der CFR ist dem IFR ähnlich, verwendet aber den Bestätigt Todesfälle und Fälle, die von Ländern gemeldet wurden. Im Gegensatz dazu verwendet die IFR wahre Todesfälle und Infektionen, die in der Regel nicht bekannt sind und geschätzt werden müssen.

Wie von der Johns Hopkins University berichtet. Die Daten werden vor der Anpassung geglättet.

Außer in „später betroffenen Regionen wie Lateinamerika warten wir weitere 3 Monate, bevor wir beginnen, die IFR zu senken“.

Die typische CFR-Berechnung teilt bestätigte Todesfälle durch bestätigte Fälle am selben Tag gemeldet, aber diese Todesfälle wurden tatsächlich durch Fälle verursacht, die ungefähr 2-3 Wochen zuvor bestätigt wurden.

Alle bis auf eine geringe Anzahl bestätigter Fälle werden als symptomatisch angenommen.

Diese Daten werden zunächst geglättet.

In Übereinstimmung mit dieser Methodik und in Absprache mit den LSHTM-Forschern führen wir diese Berechnungen durch, um die hier vorgestellten Schätzungen der Gesamtinfektionen zu erstellen.

Beides, wie vom ECDC berichtet.

In einer Sekundäranalyse passen die LSHTM-Forscher den Baseline-CFR für unterschiedliche Altersverteilungen an. Dies hat jedoch seine eigenen Annahmen und Grenzen und ist daher nicht eindeutig der bessere Ansatz. Weitere Details finden Sie im vollständigen Bericht.

Wir müssen jedoch immer noch berücksichtigen, dass solche Prognosen möglicherweise nicht verfolgen, was tatsächlich passiert, wenn sie in der Zukunft zu einem anderen Ergebnis beitragen.

Einige aktuelle Bemühungen, Vorhersagen auf Genauigkeit zu bewerten, stammen von Youyang Gu, IHME, The Zoltar Project und Covid Compare.

Die LSHTM-Forscher verglichen beispielsweise ihre Modellschätzungen mit Seroprävalenzschätzungen und fanden eine gute Übereinstimmung. In ihrem vollständigen Bericht können Sie mehr darüber lesen.

Unsere Arbeit frei wiederverwenden

Alle Visualisierungen, Daten und Codes, die von Our World in Data produziert werden, sind vollständig frei zugänglich unter der Creative Commons BY-Lizenz. Sie haben die Erlaubnis, diese in jedem Medium zu verwenden, zu verbreiten und zu reproduzieren, vorausgesetzt, die Quelle und die Autoren werden genannt.

Die von Dritten produzierten und von Our World in Data zur Verfügung gestellten Daten unterliegen den Lizenzbedingungen der ursprünglichen Drittautoren. Wir geben in unserer Dokumentation immer die ursprüngliche Quelle der Daten an, daher sollten Sie vor der Verwendung und Weitergabe immer die Lizenz solcher Daten Dritter überprüfen.


Verwendung einer anderen Parametrierung

Die Optim-Funktion ermöglicht das Vorlesen des hessischen

Der Hesse-Wert kann mit der Varianz der Parameter in Beziehung gesetzt werden (In R, bei einer Ausgabe von optim mit einer Hesse-Matrix, wie berechnet man Parameter-Konfidenzintervalle mit der Hesse-Matrix?). Beachten Sie jedoch, dass Sie dazu den Hessischen der Log-Wahrscheinlichkeit benötigen, der nicht mit dem RSS identisch ist (er unterscheidet sich um einen Faktor, siehe Code unten).

Auf dieser Grundlage können Sie sehen, dass die Schätzung der Stichprobenvarianz der Parameter sehr groß ist (was bedeutet, dass Ihre Ergebnisse/Schätzungen nicht sehr genau sind). Beachten Sie aber auch, dass der Fehler stark korreliert ist. Dies bedeutet, dass Sie die Parameter so ändern können, dass das Ergebnis nicht sehr korreliert ist. Einige Beispielparametrisierungen wären:

so dass die alten Gleichungen (beachten Sie, dass eine Skalierung um 1/N verwendet wird):

was besonders reizvoll ist, da man für den Anfang dieses ungefähre $I^prime = cI$ erhält. Dadurch sehen Sie, dass Sie im Grunde genommen den ersten Teil schätzen, der ungefähr exponentielles Wachstum darstellt. Sie können den Wachstumsparameter $c = eta - gamma$ sehr genau bestimmen. $eta$ und $gamma$ oder $R_0$ können jedoch nicht leicht bestimmt werden.

Im folgenden Code wird eine Simulation mit dem gleichen Wert $c=eta - gamma$ aber mit unterschiedlichen Werten für $R_0 = eta / gamma$ durchgeführt. Sie können sehen, dass die Daten nicht in der Lage sind, zu unterscheiden, mit welchen verschiedenen Szenarien (welche verschiedenen $R_0$ ) wir es zu tun haben (und wir benötigen mehr Informationen, z. B. die Standorte jeder infizierten Person und versuchen zu sehen, wie sich die Infektion ausbreitet aus).

Es ist interessant, dass mehrere Artikel bereits vorgeben, vernünftige Schätzungen von $R_0$ zu haben. Zum Beispiel dieser Vordruck Neuartiges Coronavirus 2019-nCoV: Frühe Schätzung epidemiologischer Parameter und Epidemievorhersagen (https://doi.org/10.1011/2020.01.23.20018549)


Das SEIR-Modell¶

In der Version des SEIR-Modells wird angenommen, dass sich alle Individuen der Population in einer endlichen Anzahl von Staaten befinden.

Die Zustände sind: anfällig (S), exponiert (E), infiziert (I) und entfernt (R).

Diese Art von kompartimentierten Modellen hat viele Erweiterungen (z. B. lockert SEIRS die lebenslange Immunität und erlaubt Übergänge von $ R zu S $).

  • Diejenigen im Zustand R wurden infiziert und entweder genesen oder starben. Beachten Sie, dass sich R in einigen Variationen möglicherweise nur auf wiedergewonnene Wirkstoffe bezieht.
  • Von denjenigen, die sich erholt haben und leben, wird angenommen, dass sie eine Immunität erworben haben.
  • Diejenigen in der exponierten Gruppe sind noch nicht ansteckend.

Veränderungen im infizierten Staat¶

Innerhalb des SEIR-Modells folgt der Fluss zwischen den Zuständen dem Pfad $ S o E o I o R $.

Wir werden die Geburt und den nicht-coviden Tod während unseres Zeithorizonts ignorieren und durchgehend von einer großen, konstanten Anzahl von Individuen der Größe $ N $ ausgehen.

Dabei werden die Symbole $ S, E, I, R $ für die Gesamtzahl der Individuen in jedem Zustand zu jedem Zeitpunkt verwendet, und $ S(t) + E(t) + I(t) + R( t) = N $ für alle $ t $.

Da wir angenommen haben, dass $ N $ groß ist, können wir eine Kontinuumsnäherung für die Anzahl der Individuen in jedem Zustand verwenden.

Die Übergänge zwischen diesen Zuständen werden durch die folgenden Raten geregelt

  • $ eta(t) $ heißt die Übertragungsrate oder effektive Kontaktrate (die Geschwindigkeit, mit der Personen auf andere stoßen und sie dem Virus aussetzen).
  • $ sigma $ heißt die Infektionsrate (die Rate, mit der sich die exponierten Personen infizieren)
  • $ gamma $ heißt die Erholungsrate (die Rate, mit der sich infizierte Personen erholen oder sterben)

Die Rate $ eta(t) $ wird sowohl von den Krankheitsmerkmalen (z. B. Art und Dauer des für eine Übertragung erforderlichen längeren Kontakts) als auch vom Verhalten der Individuen (z. B. soziale Distanzierung, Hygiene) beeinflusst.

Das SEIR-Modell kann dann geschrieben werden als

$ egin frac & = - eta, S, frac frac & = eta, S, frac - sigma E frac & = sigma E - gamma I frac & = gamma I end ag <1>$

Dabei repräsentiert $dy/dt $ die zeitliche Ableitung für die jeweilige Variable.

Der erste Term von (1), $ -eta, S, frac $, ist der Fluss von Individuen, die sich von $ S nach E $ bewegen, und unterstreicht die zugrunde liegende Dynamik der Epidemie

  • Personen im anfälligen Zustand (S) haben eine Rate von $ eta(t) $ an längeren Kontakten mit anderen Personen, bei denen eine Übertragung stattfinden würde, wenn eine der beiden infiziert wäre
  • Von diesen Kontakten ist ein Bruchteil $ frac$ wird mit infizierten Erregern sein (da wir davon ausgegangen sind, dass exponierte Personen noch nicht infektiös sind)
  • Schließlich gibt es $ S(t) $ anfällige Individuen.
  • Das Vorzeichen zeigt an, dass das Produkt dieser Terme der Abfluss aus dem Zustand $ S $ und ein Zufluss in den Zustand $ E $ ist.

Basisreproduktionsnummer¶

Wäre $ eta $ konstant, dann könnten wir $ R_0 := eta / gamma $ definieren. Das ist das berühmte grundlegende Reproduktionsnummer für das SEIR-Modell. Siehe [HSW05] für weitere Details.

Wenn die Übertragungsrate zeitvariiert ist, folgen wir der Notation in [FVJ20] und bezeichnen $ R_0(t) $ als zeitvariable Version der Basisreproduktionszahl.

Die Analyse des Systems in (1) liefert eine gewisse Intuition über den Ausdruck $ R_0(t) := eta(t) / gamma $:

  • Einzelne Übergänge vom infizierten zum entfernten Zustand erfolgen mit einer Poisson-Rate $ gamma $, die erwartete Zeit im infizierten Zustand beträgt $ 1/gamma $
  • Längere Interaktionen treten mit einer Rate von $ eta $ auf, so dass ein neues Individuum, das in den infizierten Zustand eintritt, das Virus möglicherweise auf durchschnittlich $ R_0 = eta imes 1 / gamma $ other . überträgt
  • Bei komplizierteren Modellen siehe [HSW05] für eine formale Definition für beliebige Modelle und eine Analyse der Rolle von $ R_0 < 1 $.

Beachten Sie, dass die Notation $ R_0 $ in der epidemiologischen Literatur Standard ist - obwohl sie verwirrend ist, da $ R_0 $ nichts mit $ R $ zu tun hat, dem Symbol, das den entfernten Zustand darstellt. Für den Rest der Vorlesung werden wir es vermeiden, $ R $ für den entfernten Zustand zu verwenden.

Bevor wir das Modell direkt lösen, nehmen wir einige Änderungen an (1) vor

  • Umparametrieren mit $ eta(t) = gamma R_0(t) $
  • Definiere den Anteil der Individuen in jedem Staat als $ s := S/N $ etc.
  • Teilen Sie jede Gleichung in (1) durch $ N $ und schreiben Sie das System der ODEs in Bezug auf die Proportionen

$ egin frac & = - gamma , R_0 , s , i frac & = gamma , R_0 , s , i - sigma e frac & = sigma e - gamma i frac & = gamma i end ag <2>$

Da die Zustände eine Partition bilden, könnten wir den „entfernten“ Anteil der Bevölkerung als $ r = 1 - s - e - i $ rekonstruieren. Wenn Sie es jedoch im System behalten, wird das Plotten bequemer.

Implementierung¶

Wir beginnen mit der Implementierung einer einfachen Version dieses Modells mit einem konstanten $ R_0 $ und einigen Basisparameterwerten (auf die wir später eingehen werden).

Definiere zuerst das Gleichungssystem

Bei diesem System wählen wir eine Anfangsbedingung und eine Zeitspanne und erstellen ein ODE-Problem, das das System kapselt.

Wählen Sie dazu einen ODE-Algorithmus und lösen Sie das Anfangswertproblem. Ein guter Standardalgorithmus für nicht-steife ODEs dieser Art könnte Tsit5() sein, das ist die Tsitouras 5/4 Runge-Kutta-Methode).

Wir haben weder einen Satz von Zeitschritten noch eine dt-Zeitschrittgröße für die Lösung bereitgestellt. Die meisten genauen und leistungsstarken ODE-Löser, die für dieses Problem geeignet sind, verwenden adaptive Zeitschritte, wobei die Schrittgröße basierend auf dem Krümmungsgrad in den Ableitungen geändert wird.

Oder als alternative Visualisierung die Proportionen in jedem Zustand im Zeitverlauf

Während das Kernsystem der ODEs in $ (s, e, i, r) $ beibehalten wird, werden wir das Basismodell erweitern, um einige politische Experimente und Berechnungen von Aggregatwerten zu ermöglichen.

Erweitern des Modells¶

Zunächst können wir einige zusätzliche Berechnungen wie die kumulative Fallzahl (d. h. alle diejenigen, die die Infektion haben oder hatten) als $ c = i + r $ betrachten. Differenziert man diesen Ausdruck und ersetzt es aus den Zeitableitungen von $ i(t) $ und $ r(t) $, erhält man $ frac = sigma und $.

Wir nehmen an, dass die Übertragungsrate einem Prozess folgt mit einer Rückkehr zu einem Wert $ ar_0(t) $, die möglicherweise von der Politik beeinflusst werden könnte. Die Intuition ist, dass selbst wenn das anvisierte $ ar_0(t) $ wurde durch soziale Distanzierung/etc. geändert, Verzögerungen im Verhalten und bei der Implementierung würden den Übergang glätten, wobei $ eta $ die Geschwindigkeit von $ R_0(t) $ bestimmt, die sich in Richtung $ ar . bewegt_0(t)$.

Schließlich sei $ delta $ die Sterblichkeitsrate, die wir konstant lassen werden. Die kumulativen Todesfälle können durch den Fluss $ gamma i $ integriert werden, der in den Zustand „Entfernt“ eintritt.

Definieren Sie die kumulative Zahl der Todesfälle als $ D(t) $ mit dem Verhältnis $ d(t) := D(t)/N $.

Während wir die Sterbefälle mit der Lösung ex-post in das Modell integrieren könnten, ist es bequemer, den in den ODE-Solver integrierten Integrator zu verwenden. Das heißt, wir addieren $ frac

d(t) $ anstatt $ d(t) = int_0^t delta gamma, i( au) d au $ ex-post zu berechnen.

Dies ist ein üblicher Trick beim Lösen von ODE-Systemen. Obwohl dies im Prinzip der Verwendung des geeigneten Quadraturschemas entspricht, wird dies besonders praktisch, wenn adaptive Zeitschrittalgorithmen verwendet werden, um die ODEs zu lösen (d. h. es gibt kein regelmäßiges Zeitraster). Beachten Sie, dass dabei $ d(0) = int_0^0 delta gamma i( au) d au = 0 $ die Anfangsbedingung ist.

Das System (2) und die ergänzenden Gleichungen können in Vektorform geschrieben werden $ x := [s, e, i, r, R₀, c, d] $ mit Parametertupel $ p := (sigma, gamma, eta, delta, ar_0(cdot)) $

Beachten Sie, dass in diesen Parametern die angestrebte Reproduktionsnummer $ ar_0(t) $, ist eine exogene Funktion.

Das Modell ist dann $ frac = F(x,t) $ wobei

$ F(x,t) := egin -gamma, R_0, s, i gamma , R_0 , s , i - sigma e sigma , e - gamma i gamma i eta ( Bar_0(t) - R_0) sigma e delta , gamma , i end ag <5>$

Beachten Sie, dass wenn $ ar_0(t) $ ist zeitinvariant, dann ist auch $ F(x, t) $ zeitinvariant.

Parameter¶

Die Parameter $ sigma, delta, $ und $ gamma $ sind als Parameter aus der Biologie und Medizintechnik zu verstehen und unabhängig von sozialen Interaktionen.

Wie in Atkesons Anmerkung setzen wir

  • $ sigma = 1/5,2 $ um eine durchschnittliche Inkubationszeit von 5,2 Tagen widerzuspiegeln.
  • $ gamma = 1/18 $, um einer durchschnittlichen Krankheitsdauer von 18 Tagen zu entsprechen.
  • $ ar_0(t) = R_0(0) = 1,6 $ passend zu a grundlegende Reproduktionsnummer von 1,6 und zunächst zeitinvariant
  • $ delta = 0,01 $ für eine Sterblichkeitsrate von einem Prozent

Da wir zunächst den Fall betrachten werden, in dem $ R_0(0) = ar_0(0) $, der Parameter $ eta $ hat keinen Einfluss auf das erste Experiment.


SIR-Epidemiemodell für Influenza A (H1N1): Modellierung des Ausbruchs der Pandemie in Kolkata, Westbengalen, Indien, 2010

Dieses Werk ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung-Keine kommerzielle Nutzung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz.

In diesem Bericht wird die Verbreitung der pandemische Influenza A (H1N1), die 2010 in Kolkata, Westbengalen, Indien, ausgebrochen war, wird simuliert. Das Grundlegende epidemisches SIR-Modell verwendet wird, beschreibt es drei Populationen: a anfällig Bevölkerung, und infiziert Bevölkerung und a erholt Bevölkerung und geht von der Gesamtbevölkerung (Summe dieser 3 Populationen) aus, die über den Untersuchungszeitraum festgelegt wurde.

Für dieses Modell gibt es zwei Parameter: nämlich die Angriffsrate (β) pro Infizierter pro Tag durch Kontakte und die Genesungsrate (α). Zunächst wird es eine geringe Zahl von Infizierten in der Bevölkerung geben. Mit der Simulation/Analyse sind nun folgende Fragen zu beantworten:

1. Ob die Zahl der Infizierten stark ansteigt, eine Epidemie auslöst oder der Kamin verpufft.
2. Angenommen, es gibt eine Epidemie, wie wird sie enden? Wird es nach dem Ende noch Anfällige geben?
3. Wie lange dauert die Epidemie?

Die Eulersche Methode wird hauptsächlich verwendet, um die System von Differentialgleichungen für die SIR-Modell und berechne die Gleichgewichtspunkte (zusammen mit einigen
analytische Lösungsversuche für einige vereinfachte Spezialfälle). Hier sind die
Schlussfolgerungen aus den Simulationen:

1. Wenn die Wiederherstellungsrate α ist ≈ 0 oder sehr sehr niedrig im Vergleich zur Angriffsrate β, wird sich die Grippe als Epidemie entpuppen und die gesamte Bevölkerung wird zuerst infiziert (je höher β ist, desto schneller der Ausbruch der Epidemie).

2. Genauer gesagt, wenn die anfänglich anfällige Population S(0) ist größer als der Kehrwert der Grundreproduktionszahl 1/ R0 = α / β, ein richtige Epidemie wird ausbrechen.

3. Wenn die anfänglich anfällige Population S(0) kleiner ist als der Kehrwert der Grundreproduktionszahl 1/R0=α/β, dann ein richtige Epidemie Wille noch nie ausbrechen.

4. Wenn die anfängliche anfällige Population nicht Null ist, wird es am Ende (im Gleichgewicht) immer eine anfällige Population geben.

5. Wenn eine Epidemie auftritt, endet sie schließlich im Gleichgewichtspunkt mit 0 infizierter Bevölkerung. Wie schnell sie das Gleichgewicht erreicht, hängt von der Erholungsrate ab (je höher α, desto schneller die Entfernung der Infektion).

6. Die Zeit bis zum Erreichen des Gleichgewichts kann mit der Euler-Methode berechnet werden, sie hängt von den Parametern α (je höher, desto schneller) und β (je höher, desto schneller) und der anfänglich infizierten Populationsgröße I(0) (je höher, desto schneller) ).

Im Jahr 2010 brach in Kolkata, Westbengalen, Indien, die pandemische Influenza A (H1N1) aus. Im Juli und August 2010 wurde im Großraum Kolkata (GKMA) eine erhöhte Anzahl von Fällen mit grippeähnlicher Erkrankung (ILI) gemeldet, wie in [3] angegeben. Die Hauptmotivation für dieses Forschungsprojekt wird darin bestehen, die Ausbreitung der Pandemie zu verstehen, die Gleichgewichtspunkte zu berechnen und den Einfluss der Anfangswerte der Infiziertenrate und der Parameter der Angriffs-/Erholungsrate auf die Ausbreitung der Epidemie mithilfe von Simulationen zu ermitteln das grundlegende epidemische SIR-Modell.

Die Euler-Methode wird hauptsächlich verwendet, um das System der Differentialgleichungen zu lösen
für das SIR-Modell und berechnen Sie die Gleichgewichtspunkte. Zunächst werden einige vereinfachte Spezialfälle betrachtet und zur Berechnung der Gleichgewichtspunkte sowohl analytische als auch numerische Verfahren (mit Euler-Methode) verwendet. Dann wird die Lösung für das generische Modell gefunden. Wie in [6] beschrieben, kann auch das SIR-Modell effektiv genutzt werden (in einem breiteren
Kontext), um die Ausbreitung von Computerviren in Computernetzwerken zu modellieren, insbesondere für Netzwerke mit Zufallsgraphtopologie vom Erdos-Renyi-Typ.

SIR-Epidemie-Modell

Das SIR-Modell ist ein epidemiologisches Modell, das die theoretische Anzahl der mit einer ansteckenden Krankheit infizierten Personen in einer geschlossenen Population im Zeitverlauf berechnet. Eines der grundlegenden Ein-Stamm-SIR-Modelle ist Kermack-McKendrick-Modell. Das Kermack-McKendrick-Modell wird verwendet, um den schnellen Anstieg und Rückgang der Zahl von infektiösen Patienten zu erklären, die bei Epidemien beobachtet werden. Es wird davon ausgegangen, dass die Populationsgröße festgelegt ist (d. h. keine Geburten, keine Todesfälle aufgrund von Krankheiten oder natürlichen Ursachen), Inkubationszeit des Infektionserregers
ist augenblicklich und die Dauer der Infektiosität entspricht der Dauer der Krankheit. Es wird auch von einer völlig homogenen Bevölkerung ohne Alters-, Raum- oder Sozialstruktur ausgegangen.

Die folgende Abbildung 2.1 zeigt eine elektronenmikroskopische Aufnahme der neu sortierten H1N1Influenzavirus fotografiert im CDC Influenza Laboratory. Die Viren haben einen Durchmesser von 80 – 120 nm [1].

2.1 Grundlegendes mathematisches Modell

Das Ausgangsmodell für eine Epidemie ist das sogenannte SIR-Modell, bei dem S steht für anfällige Bevölkerung, die Menschen, die infiziert werden können. ich ist die bereits infizierte Bevölkerung, die Menschen, die ansteckend sind, und R steht für die genesene Bevölkerung, Menschen, die nicht mehr ansteckend sind.

2.1.1 Differentialgleichungen

Die SIR-Modell kann mit den folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen 2.1 definiert werden:

• Die Bedingungen dS/dt , dI/dt , dR/dt in den Differentialgleichungen geben die Änderungsrate der anfälligen Populationsgröße, der infizierten Populationsgröße bzw. der wiederhergestellten Populationsgröße an.

• Die Bedingungen β und α geben die Ansteckungsrate (Anzahl der anfälligen Personen, die sich pro Tag anstecken) bzw.

• Hoher Wert von α bedeutet, dass eine Person für weniger Tage mit der Grippe infiziert wird und einen hohen Wert von β bedeutet, dass sich die Epidemie schnell ausbreiten wird.

• Wie unten zu sehen ist, lässt sich aus den Differentialgleichungen auch zeigen, dass die Grundgesamtheit (S+I+R) wird als konstant angenommen.

2.1.2 Gesammelte Daten, Einheiten und Werte für die Konstanten

• Wie aus der folgenden Abbildung 2.2 hervorgeht, wird sich der Fokus dieser Analyse auf die Bevölkerung im Gebiet der Kolkata Metropolitan Corporation (KMC, XII) beschränken, wo von einer Bevölkerung von ≈ 4,5 Millionen oder 4500 Tausend ausgegangen werden kann, gemäß [ 7].

Einheiten

– Alle Bevölkerungseinheiten (S, I, R) werden in Tausend Personen angegeben (so dass die Gesamtbevölkerung
N = 4500).
– Wie aus den Differentialgleichungen 2.1 abgeleitet werden kann, ist die Einheit von β in
10^(−6) /Personen/Tag (β = 25 bedeutet, dass 25 von einer Million Personen infiziert werden durch
anfällig-infizierter Kontakt pro infizierter Person pro Tag).
– In ähnlicher Weise sind die Einheiten von α in 10^(−3) / Tag (α = 167 bedeutet 167 × 10^(−3) /
Tag erholt sich von der Grippe pro Tag).

• Die Befallsrate beträgt 20-29/100000 und die Anzahl der infizierten Tage (d. h. die Umkehrung der Erholungsrate) = 5-7 Tage im Durchschnitt (mit wenigen Ausnahmen), gemäß [3].

• Als typische Werte für β und α können 25/Person/Tag bzw. 10^3/6 ≈ 167/Tag angenommen werden.

2.2 Vereinfachtes Modell 1 (mit α = 0)

• Zunächst wird ein vereinfachtes Modell erstellt unter der Annahme, dass α = 0 (/Tag) und dass R = 0 ist, so dass eine Person, einmal infiziert, für immer ansteckend bleibt. Da S(t) + I(t) + R(t) = S(t) + I(t) = N konstant ist (da die Populationsgröße N fest ist), kann S(t) eliminiert werden und eine einzige Differentialgleichung in nur I(t) erhält man wie in der folgenden Gleichung gezeigt 2.2.

• Auch sei die (feste) Bevölkerungsgröße N = 4500 = S(0) + I(0), (in Tausend Personen), zunächst die Zahl der Infizierten = I(0) = 1 (in Tausend Personen) und Anzahl der anfälligen Personen S(0) = N −I(0) = 4499 (in Tausend Personen). Sei β = 25 × 10^(−6) /Personen / Tag) für den Anfang.

2.2.1 Analyselösung

• Die analytische Lösung kann durch Befolgen der Schritte in Anhang A gefunden werden und die endgültige Lösung wird in den folgenden Gleichungen 2.3 gezeigt:


• Die folgende Abbildung 2.3 zeigt das logistische (begrenzte) Wachstum in I(t) (in Tausend Personen) bzgl. die Zeit (in Tagen) für verschiedene Werte der Angriffsrate β×10^(−6) (/Person/Tag). Erwartungsgemäß infizieren sich alle Personen der Bevölkerung umso schneller, je höher die Angriffsrate ist.

2.2.2 Finden der Gleichgewichtspunkte für I

• Die Gleichgewichtspunkte sind die Punkte, an denen die Änderungsrate von I null ist, die Punkte, die die folgende Gleichung erfüllen

biol-2022/8175/image_5A02OYot2iOV6hgJA.png?w=150&h=86 150w" size="(max-width: 236px) 100vw, 236px" />

• Betrachtet man eine kleine Umgebung des Gleichgewichtspunktes bei I = 0, so ist aus Abbildung 2.4 ersichtlich, dass immer dann, wenn I > 0 ist, dI/dt > 0, also nimmt ich zu und entfernt sich vom Gleichgewichtspunkt.

• Daher ist der Gleichgewichtspunkt bei I = 0 instabil.

• Bei I = N = 4500 (in Tausend Personen) handelt es sich um ein stabiles Gleichgewicht. Wie aus der folgenden Abbildung 2.4 ersichtlich ist, nimmt sie in einer kleinen Umgebung des Gleichgewichtspunktes bei I = 4500 immer zum Gleichgewichtspunkt hin zu/ab.

• In einer kleinen Nachbarschaft mit ε > 0 bei I = 4500 (in Tausend Personen),

1. dI/dt > 0, also steigt I, wenn ich <= 4500 − ε .
2. dI/dt > 0, also sinkt I, wenn ich >= 4500 + ε .

• Gleiches ist an den Richtungsfeldern aus Abbildung 2.5 zu erkennen.

• Somit ist das Gleichgewicht bei I = 4500 stabil.

2.2.3 Numerische Lösung mit der Euler-Methode

• Der in der folgenden Abbildung 2.6 dargestellte Algorithmus (aus den Kursfolien) wird zur numerischen Berechnung der (Gleichgewichts-)Lösung nach der Euler-Methode verwendet.

• Wie aus Abbildung 2.6 ersichtlich, kann die Infektion im nächsten Zeitschritt (linear) (iterativ) approximiert werden durch die Summation des Infektionsstrom-Zeitschritts mit dem Produkt aus Zeitschrittdifferenz und der Ableitung der ausgewerteten Infektion im aktuellen Zeitschritt.

2.2.3.1 Finden der richtigen Schrittweite (mit β = 25 × 10^(−6)/Person/Tag)

• Um die beste Schrittweite für die Euler-Methode zu bestimmen, wird zunächst die Euler-Methode mit unterschiedlichen Schrittweiten durchlaufen, wie in Abbildung 2.7 gezeigt.

• Wie aus der folgenden Tabelle 2.1 und der Abbildung 2.7 ersichtlich, treten die größten Unterschiede im Wert von I (mit zwei aufeinanderfolgenden Schrittweiten) um 78 Tage auf:


• Wie aus der Tabelle im Anhang B ersichtlich, wird der Fehler zum ersten Mal kleiner als 1 Person (in Tausend) bei der Schrittweite 1/512 , daher wird diese Schrittweite für das Euler-Verfahren verwendet.

2.2.3.2 Berechnung des (stabilen) Gleichgewichtspunktes

• Nun wird dieser Zeitschritt verwendet, um das Problem zu lösen, die Gleichgewichtszeit zu finden teq(in Tagen). Finden teq mit N − I(teq) < ε = 10^(−6) , die erhaltene Lösung ist teq = 272.33398 Tage ≈ 273 Tage.

• Aus der analytischen Lösung 2.3 und der folgenden Abbildung 2.8 kann nun verifiziert werden, dass die teq-Lösung, die die Euler-Methode erhalten hat, ziemlich genau ist (auf die ε-Toleranz).

2.2.3.3 Ergebnisse mit β = 29 × 10^(−6) / Person / Tag, I(0) = 1 Person

• Nach denselben Iterationen wie oben wird in diesem Fall der steilste Fehler bei t = 67 Tagen erhalten, wie in Abbildung 2.9 gezeigt.

• Das erste Mal, wenn der Fehler mit der Euler-Methode für t = 67 Tage kleiner als eine Person wird, ist die Schrittweite 1/512 wieder.

• Die erhaltene Lösung ist teq = 234.76953125 Tage 235 Tage, so dass das Gleichgewicht (wenn die gesamte Bevölkerung infiziert wird) früher als erwartet erreicht wird, da die Angriffsrate β höher ist.

2.2.3.4 Ergebnisse mit β = 25 × 10−6 / Person / Tag, mit unterschiedlichen Ausgangswerte für Infizierte (I(0))

• Nach denselben Iterationen wie oben wird der Gleichgewichtspunkt unter Verwendung der Euler-Methode mit unterschiedlichen Werten der anfänglich infizierten Population I(0) berechnet, wie in Abbildung 2.10 gezeigt.

• Die erhaltenen Lösungen sind teq = 272,33, 258,02, 251,85, 248,23, 245,66, 245,66 Tage für I(0) = 1, 5, 10, 15, 20 Tage. Das Gleichgewicht wird also früher erreicht, wenn die anfänglich infizierte Population wie erwartet höher ist.

2.3 Vereinfachtes Modell 2 (mit β = 0)

• Als nächstes wird ein weiteres vereinfachtes Modell betrachtet, indem angenommen wird, dass β = 0 und dass α > 0 ist, sodass die Grippe niemanden mehr infizieren kann (anfällig, wenn überhaupt, möglicherweise weil sich alle infiziert haben), eine infizierte Person erholt sich mit Rate . von der Grippe a. Diese Situation kann wieder mit einer einzigen Differentialgleichung in nur I(t) beschrieben werden, wie in der Gleichung unten 2.4 gezeigt.

biol-2022/8175/image_v25E7ScR9do2T4xDhL.png?w=150&h=30 150w" size="(max-width: 351px) 100vw, 351px" />

• Auch sei die gesamte Bevölkerung infiziert, N = 4500 = I(0), (in Tausend Personen), zunächst die Anzahl der anfälligen Personen = S(0) = 0. Sei α = 167 × 10^(−3)
(/ Tag) zu beginnen.

2.3.1 Analytische Lösung

• Die analytische Lösung kann durch Befolgen der Schritte in den folgenden Gleichungen 2.5 gefunden werden:

• Die folgende Abbildung 2.11 zeigt den exponentiellen Zerfall in I(t) (in Tausend Personen) bzgl. die Zeit (in Tagen) für verschiedene Werte der Wiederfindungsrate α × 10^(−3) (/Tag). Je höher die Genesungsrate, desto schneller werden alle Personen in der Bevölkerung die Infektion erwartungsgemäß los.

• Nun, I(t) + R(t) = N (da S(t) = 0 für immer, da keine Infektion mehr) und I(0) = N, kombiniert mit der obigen analytischen Lösung I(t) = I(0).exp(−αt) = N.exp(−αt), ergibt sich folgende Gleichung:

• Die folgende Abbildung 2.12 zeigt das Wachstum von R(t) (in Tausend Personen) w.r.t. die Zeit (in Tagen) für verschiedene Werte der Wiederfindungsrate α × 10^(−3) (/Tag). Erwartungsgemäß ziehen alle Personen der Bevölkerung in den abgeschobenen Staat um, je höher die Genesungsrate ist.

2.3.2 Numerische Lösung mit der Euler-Methode

2.3.2.1 Lösung mit α = 167 × 10−3 / Tag

• Nach denselben Iterationen wie oben erhält man in diesem Fall den steilsten Fehler bei t = 6, wie in Abbildung 2.16 gezeigt.

• Das erste Mal, dass der Fehler mit der Euler-Methode für t = 67 kleiner als eine Person wird, ist die Schrittweite 1/256 .

• Die mit der Euler-Methode erhaltene Lösung beträgt 133.076171875 Tage ≈ 133 Tage, um die Infektion aus der Bevölkerung mit einer Toleranz von 10^(−6) zu entfernen. Aus der analytischen Lösung
I(133) = N.exp(−αt) = 1.016478E−06, ein ähnliches Ergebnis wird erhalten.

2.3.2.2 Ergebnisse

Die folgende Abbildung 2.16 zeigt die Lösungen, die mit verschiedenen Schrittweiten nach der Euler-Methode erhalten wurden.

2.4 Generisches Modell (mit α, β > 0)

Zuerst wird die numerische Lösung für das generische Modell versucht (unter Verwendung der Euler-Methode) und dann werden einige analytische Erkenntnisse für das generische Modell abgeleitet.

2.4.1 Numerische Lösung mit der Euler-Methode

• Der in der nächsten Abbildung gezeigte folgende Algorithmus 2.14 wird verwendet, um die Lösung mit der Euler-Methode zu erhalten (das Grundprogramm für die Euler-Methode, angepasst an drei abhängige Variablen und drei Differentialgleichungen).

• Wie aus Abbildung 2.14 ersichtlich, wird zunächst der Vektor X(0) gebildet, indem die drei Variablen S, I, R im Zeitschritt 0 kombiniert werden. Dann kann der Wert des Vektors im nächsten Zeitschritt (linear) approximiert werden (iterativ ) durch die (Vektor-)Summation des Vektorwertes im aktuellen Zeitschritt mit dem Produkt der Zeitschrittdifferenz und der Ableitung des
Vektor, der im aktuellen Zeitschritt ausgewertet wird.

2.4.1.1 Gleichgewichtspunkte

• Am Gleichgewichtspunkt,

Am Gleichgewichtspunkt wird es keine infizierte Person geben (die Infektion sollte entfernt werden).

• Wie auch aus der folgenden Abbildung 2.15 ersichtlich ist, ich = 0 ist ein Gleichgewicht Dies ist durchaus zu erwarten, da im Gleichgewicht die gesamte infizierte Bevölkerung in den entfernten Zustand übergeht.

• Außerdem ist an jedem Punkt die Invariante S + I + R = N hält.

• In diesem speziellen Fall, der in Abbildung 2.15 dargestellt ist, wird die anfällige Population S im Gleichgewicht ebenfalls 0 (da sich die gesamte Bevölkerung anfänglich infiziert hat, müssen alle in den entfernten Zustand übergehen) und R = N = 4500 (in Tausend Personen).

2.4.1.2 Ergebnisse mit Euler-Methode

• Wie in den vorherigen Abschnitten erläutert, besteht dieselbe iterative Methode darin, die richtige Schrittweite für die Euler-Methode zu finden. Das Minimum der beiden ermittelten Schrittweiten ist
∆t = 1/512 Tag und wieder wird diese Schrittweite für die Euler-Methode verwendet.

• Die folgenden Abbildungen zeigen die erhaltenen Lösungen mit unterschiedlichen Werten von α, β mit der initial infizierten Populationsgröße I(0) = 1 (in Tausend Personen). Für die Simulation werden höhere Werte für den Parameter β aus der Literatur verwendet, da β = 25 × 10^(−6) /Person /Tag zu klein (mit nicht interessanten Ergebnissen) für das Wachstum der Epidemie nach der Eulerschen Methode ist (zumindest bis ∆t = 1/2^15), wonach die iterativen Eulers
Methode wird sehr langsam).

• Wie aus den Abbildungen 2.16, 2.17 und 2.19 ersichtlich, wird I im Gleichgewicht Null.

• Die bei α = 167×10^(−3) /Tag und β = 25×10^(−5) /Person /Tag erhaltene Lösung (Anzahl der Tage bis zum Erreichen des Gleichgewichts) ist teq = 143,35546875 ≈ 144 Tage mit I(0) = 1 (in Tausend Personen), die entsprechende Zahl ist die Abbildung 2.16.

• Die bei α = 167 × 10^(−3) /Tag und β = 5 × 10^(−5) /Person /Tag erhaltene Lösung (Anzahl der Tage bis zum Erreichen des Gleichgewichts) ist teq ≈ 542 Tage mit I(0) = 1 (in Tausend Personen), die entsprechende Zahl ist Abbildung 2.17.

• Je höher der β-Wert ist, desto früher wird das Gleichgewicht erreicht.

• Die erhaltene Lösung bei α = 500 × 10^(−3) /Tag und β = 25 × 10^(−5) /Person /Tag ist
teq ≈ 78 Tage mit I(0) = 1 (in Tausend Personen), die entsprechende Zahl ist Abbildung 2.19.

• Je höher der α-Wert ist, desto früher wird das Gleichgewicht erreicht.

• Die erhaltene Lösung bei α = 167×10^(−3) /Tag und β = 25×10^(−5) /Person /Tag ist
teq = 140 Tage mit I(0) = 10. Daher wird, wie erwartet, das Gleichgewicht schneller erreicht, wenn die Anzahl der anfänglich infizierten Populationen größer ist.

• Im Gleichgewicht wird S nicht unbedingt nahe Null, da manchmal nicht die gesamte Population infiziert wird, wie in Abbildung 2.17 gezeigt, wo im Gleichgewicht die anfällige Population ungleich Null ist.

• Wie aus den Phasenebenen der folgenden Abbildung 2.21 ersichtlich ist, wird die infizierte Population im Gleichgewicht zu 0.

2.4.2 Analyselösung und Einblicke

2.4.2.1 Basisreproduktionsnummer (R0)

Die grundlegende Reproduktionsnummer (auch Grundwiedergabeverhältnis genannt) ist definiert durch
R0 = β / α (Einheit ist /Tag). Wie in [2] erläutert, wird dieses Verhältnis als erwartete Anzahl von Neuinfektionen (diese Neuinfektionen werden manchmal als Sekundärinfektionen bezeichnet) von einer einzelnen Infektion in einer Population abgeleitet, in der alle Probanden anfällig sind. Wie die Dynamik des Systems von R0 abhängt, wird als nächstes diskutiert.

2.4.2.2 Die Dynamik des Systems als Funktion von R0

• Durch Division der ersten Gleichung durch die dritte in 2.1, wie in [2], erhält man die folgende Gleichung:

• Nun muss bei t → ∞ das Gleichgewicht bereits erreicht und alle Infektionen beseitigt sein, damit lim (t→∞) I(t) = 0.

• Dann gilt aus obiger Gleichung 2.7, R∞ = N − S(0).exp(R0.(R∞−R(0)))
.
• Wie in [2] erklärt, zeigt die obige Gleichung, dass am Ende einer Epidemie, es sei denn
S(0) = 0, nicht alle Individuen der Population haben sich erholt, daher müssen einige anfällig bleiben.

• Das Ende einer Epidemie wird also eher durch den Rückgang der Zahl der Infizierten als durch einen absoluten Mangel an empfänglichen Personen verursacht [2].

• Die Rolle der Basisreproduktionszahl ist extrem wichtig, wie in [2] erläutert. Aus der Differentialgleichung ergibt sich folgende Gleichung:

S(t) > 1/R0dI(t)/dt > 0 ⇒ es wird ein . geben richtiger epidemischer Ausbruch mit einer Zunahme der Zahl der Infektiösen (die einen beträchtlichen Teil der Bevölkerung erreichen kann).

S(t) < 1 R0 ⇒ dI(t) dt < 0 ⇒ Unabhängig von der anfänglichen Größe der anfälligen Bevölkerung kann die Krankheit niemals einen richtigen epidemischen Ausbruch verursachen.

• Wie aus den folgenden Abbildungen 2.21 und 2.22 (aus den Simulationsergebnissen der Euler-Methode) ersichtlich ist, wenn S(0) > 1/R0 , gibt es einen Höhepunkt in der Infektionskurve, was auf einen richtigen Ausbruch der Epidemie hinweist.

• Auch aus den Abbildungen 2.21 und 2.22, wenn S(0) > 1/R0 , je höher die Lücke zwischen S(0) und 1/R0 , je höher der Peak ist (je mehr Menschen sich infizieren) und desto schneller wird der Peak erreicht.

• Wieder aus Abbildung 2.22, wenn 4490 = S(0) < 1/R0 = 5000, es verursacht nie einen richtigen Ausbruch einer Epidemie.

biol-2022/8175/image_dx5xCoM76ghoZ2XN.png?w=197&h. 197w" size="(max-width: 619px) 100vw, 619px" />

• Auch hier erhält man durch Division der zweiten Gleichung durch die erste in 2.1 die folgende Gleichung:

• Wie aus obiger Abbildung 2.23 ersichtlich ist, sind diese Kurven alle vertikale Verschiebungen voneinander, da sich die Formeln nur durch eine additive Konstante unterscheiden.

• Die Gerade I(t) = 0 besteht aus Gleichgewichtspunkten.

• Beginnend an einem Punkt auf einer dieser Kurven mit I(t) > 0, muss man im Laufe der Zeit die Kurve nach links entlang fahren (weil dS/dt < 0), schließlich nähert man sich einem positiven Wert von S (T).

• Dies muss geschehen, da auf jeder dieser Kurven als I(t) → ∞, als S(t) → 0, aus Gleichung 2.8.

• Die Antwort auf Frage (2) lautet also, dass die Epidemie mit einer Annäherung an einen positiven Wert enden wird und daher immer einige Anfällige übrig bleiben müssen.

• Wie aus der folgenden Abbildung 2.24 (aus den mit der Euler-Methode erhaltenen Simulationsergebnissen) ersichtlich ist, wenn S(0) > 1/R0 , kleiner die Lücke zwischen S(0) und 1/R0 , desto höher die Population bleibt im Gleichgewicht (oder bei t → ∞) anfällig.

Schlussfolgerungen

In diesem Bericht wurde die Ausbreitung der pandemischen Influenza A (H1N1), die 2010 in Kalkutta, Westbengalen, Indien, ausgebrochen war, anhand des Basismodells der Epidemie SIR simuliert. die Mehrheit der Bevölkerung hatte anfällige Personen (immer noch nicht infiziert, aber anfällig für eine Infektion) und keine entfernten Personen. Anhand der Ausgangswerte der Variablen und der Parameterwerte (Angriffs- und Erholungsraten der Grippe) wurde versucht, mit der Simulation/Analyse folgende Fragen zu beantworten:

1. Ob die Zahl der Infizierten stark ansteigt, eine Epidemie auslöst oder der Kamin verpufft.

2. Angenommen, es gibt eine Epidemie, wie wird sie enden? Wird es nach dem Ende noch Anfällige geben?

3. Wie lange dauert die Epidemie?
Die folgenden Schlussfolgerungen werden erhalten, nachdem die Simulationen mit
verschiedene Werte der Parameter und die Anfangswerte der Variablen:

1. Wenn die Erholungsrate α ≈ 0 oder sehr sehr niedrig im Vergleich zur Anfallsrate β ist (so dass R0 = β / α >> 1) und I(0) > 1, wird die Grippe eine Epidemie sein und die die gesamte Bevölkerung wird zuerst infiziert (je höher β ist, desto schneller bricht die Epidemie aus).

2. Genauer gesagt, wenn die anfängliche anfällige Population S(0) größer als der Kehrwert der grundlegenden Reproduktionszahl 1/R0 = α / β ist, wird eine richtige Epidemie ausbrechen.

3. Wenn die anfängliche anfällige Population S(0) kleiner ist als der Kehrwert der grundlegenden Reproduktionszahl 1/R0 = α/β, dann wird nie eine richtige Epidemie ausbrechen.

4. Wenn die anfängliche anfällige Population nicht Null ist, wird es am Ende (im Gleichgewicht) immer eine anfällige Population geben.

5. Wenn eine Epidemie auftritt, endet sie schließlich im Gleichgewichtspunkt mit 0 infizierter Bevölkerung. Wie schnell sie das Gleichgewicht erreicht, hängt von der Erholungsrate ab (je höher α, desto schneller die Entfernung der Infektion).

6. Die Zeit bis zum Erreichen des Gleichgewichts kann mit der Euler-Methode berechnet werden, sie hängt von den Parametern α (je höher, desto schneller) und β (je höher, desto schneller) und der anfänglich infizierten Populationsgröße I(0) (je höher, desto schneller) ).

7. Verbesserungspotenzial: Das SIR-Modell könnte auf das klassische Endemische Modell [5] erweitert werden, bei dem auch die Geburten- und Sterberaten für die Bevölkerung berücksichtigt werden (dies ist besonders nützlich, wenn eine Krankheit lange braucht, um das Gleichgewicht zu erreichen Zustand).

biol-2022/8175/image_ihrd507z8UFHhYc.png?w=137 137w, biol-2022/8175/image_ihrd507z8UFHhYc.png?w=274 274w" size="(max-width: 669px) 100vw, 669px" />